Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Голомо́рфна фу́нкція — комплексна функція, визначена на відкритій підмножині комплексної площини , що має комплексну похідну в кожній точці цієї множини. Голоморфність функції є досить сильною умовою. На відміну від випадку дійсних функцій, голоморфність означає, що функція є нескінченно диференційовною і рівна сумі свого ряду Тейлора в околі кожної точки.
В комплексному аналізі голоморфні функції також називають аналітичними і обидва терміни використовуються в літературі як синоніми. Проте поняття аналітичних функцій має зміст і для функцій дійсних змінних. Факт, що для комплексних функцій комплексної змінної множини голоморфних та аналітичних функцій є рівними є одним із головних результатів комплексного аналізу.
Існує кілька рівнозначних способів означення голоморфних функцій, кожен з яких є дуже важливим у їх теорії і відіграв важливу роль в історії комплексного аналізу.
Нехай позначає змінну комплексну величину, а відповідно її дійсна і уявна складові. Тоді комплексну функцію комплексної змінної можна записати як Тобто задання комплексної функції комплексної змінної рівнозначне заданню двох дійсних функцій двох дійсних аргументів. Подібна рівнозначність дає два можливих узагальнення поняття диференційовності на функції комплексної змінної.
Функцію визначену в деякому околі точки називають комплексно диференційовною в точці , якщо існує границя:
У цьому виразі границя береться по всіх послідовностях комплексних чисел, що сходяться до . Для всіх таких послідовностей даний вираз має сходитися до одного і того ж комплексного числа Дане визначення є природним узагальненням похідної дійсної функції.
Якщо ж розглядати функцію, як функцію двох дійсних змінних то можна визначити дійсний диференціал функції як:
Функція, що є комплексно диференційовною в точці , є в ній дійсно диференційовною. Натомість дійсно диференційовна функція є комплексно диференційовною якщо її часткові похідні задовольняють умови Коші — Рімана:
Якщо визначити диференціальні оператори то умови Коші — Рімана можна переписати як
Функція називається голоморфною в точці якщо вона є комплексно диференційовною в усіх точках деякого околу точки , тобто для якої існує визначена вище комплексна границя або, еквівалентно, функція є дійсно диференційовною і задовольняє умови Коші — Рімана. Функція називається голоморфною в множині якщо вона є голоморфною в кожній точці деякої відкритої множини для якої
Функція комплексної змінної називається голоморфною в точці якщо існує деякий окіл точки в якому дана функція рівна сумі степеневого ряду (який називається рядом Тейлора функції у точці ):
Функція називається голоморфною в множині якщо вона є голоморфною в кожній точці деякої відкритої множини для якої
Еквівалентність двох означень є однією з найважливіших властивостей голоморфних функцій.
Функція, що є голоморфною в усій множині називається цілою функцією. Цілі функції є сумами свого ряду Тейлора в будь-якій точці (цей ряд завжди буде збіжним на всій комплексній площині). Прикладами цілих функцій є:
Прикладами функцій, що не є голоморфними в жодній точці є:
Одними з найважливіших результатів теорії голоморфних функцій є ряд результатів про властивості лінійних інтегралів:
Якщо функція не є голоморфною в точці , але голоморфна в усіх інших точках деякого околу точки , то ця точка називається особливою. Багато властивостей функції в області голоморфності може залежати від властивостей особливої точки.
Нехай є відкритою зв'язаною підмножиною комплексної площини і позначає множину голоморфних функцій на Із операціями поточкового додавання і множення функцій є комутативним кільцем. Із операцією множення на комплексні числа є алгеброю над полем
Означення голоморфності переноситься і на випадок функцій багатьох комплексних змінних, тобто функцій виду Для цього випадку теж можна записати комплексні змінні через дійсні і уявні складові комплексну функцію через дві дійсні функції і ввести позначення і
Якщо функція є диференційовною як функція 2n дійсних змінних то у введених позначеннях її (дійсний) диференціал можна записати як:
Функція називається комплексно диференційовною в точці, якщо насправді можна записати в цій точці що є еквівалентним виконанню в цій точці системи Коші — Рімана:
Функція називається голоморфною в точці якщо вона є комплексно диференційовною в околі цієї точки. Функція називається голоморфною у відкритій множині, якщо вона є голоморфною в кожній точці множини.
Як і у випадку функцій однієї змінної можна дати еквівалентне означення за допомогою збіжних степеневих рядів. Функція називається голоморфною в точці , якщо існує окіл точки в усіх точках якого:
З теорем Хартогса і Осґуда випливає, що для голоморфності функції достатньою є її голоморфність по кожній змінній при фіксованих інших.
Багато властивостей голоморфних функцій однієї змінної переносяться на випадок багатьох змінних.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.