Си́ла іне́рції — сила спротиву тіла активній силі, яка намагається його прискорити.
,
де
— сила інерції, m — маса тіла,
— прискорення тіла, яке здійснила зовнішня сила.
Сили інерції реальні, бо вони в неінерційній системі координат можуть здійснювати роботу.[1]
Всі реально існуючи системи відліку неінерційні і у всіх них діють реальні пасивні сили інерції у повній відповідності з третім законом Ньютона.
У системі, що обертається довкола осі, сила інерції набирає вигляд:
,
де
кутова швидкість, а v швидкість об'єкта в системі, що обертається.
Перший доданок у формулі (1) називається силою Коріоліса, ця сила перпендикулярна до швидкості. Другий доданок — це відцентрова сила, а третій враховує кутове прискорення неінерційної системи координат.
Координати і радіус-вектор
Нехай ми маємо інерційну систему координат
, яку будемо вважати нерухомою і радіус-вектор від початку цієї системи координат до довільної точки простору позначимо великою буквою
.
Одночасно будемо розглядати і рухому систему координат
, початок координат якої
рухається з часом:
![{\displaystyle (2)\qquad \mathbf {R} _{0}=\mathbf {R} _{0}(t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e65c29e7d104fe291ba1247321a484bb1d7089)
а координатні вектори
якої утворюють ортонормований базис, який якось обертається з часом:
![{\displaystyle (3)\qquad \mathbf {a} _{1}=\mathbf {a} _{1}(t),\;\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} _{2}(t),\;\mathbf {a} _{3}=\mathbf {a} _{3}(t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4bc4a7ed035f71c0b1f24c5a63eead3e40ab07)
Радіус-вектор
відносно початку рухомої системи координат можна розкласти за цим базисом, коефіцієнтами розкладу будуть координати рухомої системи координат:
![{\displaystyle (4)\qquad \mathbf {r} =\mathbf {a} _{1}x_{1}+\mathbf {a} _{2}x_{2}+\mathbf {a} _{3}x_{3}=A\mathbf {x} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0533d3e31b32a97038cf7db5ce9c418ffec5519)
Остання рівність — це запис формули (4) в матричній формі, матриця
складається з координат базисних векторів наступним чином:
![{\displaystyle (5)\qquad A=\left(\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right)={\begin{bmatrix}a_{1x}&a_{2x}&a_{3x}\\a_{1y}&a_{2y}&a_{3y}\\a_{1z}&a_{2z}&a_{3z}\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e192735b454d0eea279a0fa0311eca723dce0d)
Як відомо з курсу лінійної алгебри, така матриця буде ортогональною, і обернена до неї матриця збігається з транспонованою. Дійсно, множачи матрицю
зліва на її транспоновану
, одержимо матрицю Грамма, яка складається зі скалярних добутків:
![{\displaystyle (6)\qquad A^{T}A={\begin{bmatrix}a_{1x}&a_{1y}&a_{1z}\\a_{2x}&a_{2y}&a_{2z}\\a_{3x}&a_{3y}&a_{3z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1x}&a_{2x}&a_{3x}\\a_{1y}&a_{2y}&a_{3y}\\a_{1z}&a_{2z}&a_{3z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1})&(\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2})&(\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{3})\\(\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1})&(\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2})&(\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{3})\\(\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{1})&(\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{2})&(\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {a} _{3})\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a18567217c22657a35da6dc99b84a3cddd72561)
а матриця Грамма дорівнює одиничній матриці оскільки наші базисні вектори взаємно ортогональні і мають одиничні довжини. Отже:
![{\displaystyle (7)\qquad A^{-1}=A^{T},\qquad AA^{T}=E={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c360b47c54f56b900c982bebb6b70ab8b8ec9de4)
Підсумовуючи сказане, запишемо радіус-вектор довільної точки простору через координати рухомої системи координат:
![{\displaystyle (8)\qquad \mathbf {R} =A\mathbf {x} +\mathbf {R} _{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c281ef6d51eb2fcabc5bd29907c7319d676d0a7)
Швидкість
Продиференціюємо формулу (8) по часу:
![{\displaystyle (9)\qquad {\dot {\mathbf {R} }}={\dot {A}}\mathbf {x} +A{\dot {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {R} }}_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57db4b103ca55e22a69e5cb6768dcdfe86fed9b9)
Позначимо через
швидкість руху початку координат:
![{\displaystyle (10)\qquad \mathbf {v} _{0}={\dot {\mathbf {R} }}_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013df06296a9596b0b94d503f9bcc94578d59244)
Далі, середній доданок в формулі (8) є вектором швидкості точки з координатами
відносно рухомої системи координат, позначимо її буквою
:
![{\displaystyle (11)\qquad \mathbf {v} =A{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {a} _{1}{dx_{1} \over dt}+\mathbf {a} _{2}{dx_{2} \over dt}+\mathbf {a} _{3}{dx_{3} \over dt}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717445da7a2d723d1cdbf6d0091ccc9041da2702)
Залишилося розібратися з першим доданком у формулі (9). Очевидно, що похідна матриці
має бути пропорційною вектору кутової швидкості
. Але як саме? Спробуємо записати таку матричну рівність:
![{\displaystyle (12)\qquad {\dot {A}}=\Omega A}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6b5e474ca4a9a6555514dc4725d216aa429eac)
де
— деяка матриця. Ясно, що ми завжди можемо записати (12), оскільки матриця
невироджена і тому
однозначно знаходиться за відомою матрицею
та її похідною:
![{\displaystyle (13)\qquad \Omega ={\dot {A}}A^{-1}={\dot {A}}A^{T}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e897839273d82697a0e8e6ecb5e0c7f50f4f526)
Ця матриця антисиметрична, оскільки:
![{\displaystyle (14)\qquad \Omega ^{T}=\left({\dot {A}}A^{T}\right)=A{\dot {A}}^{T}={d \over dt}\left(AA^{T}\right)-{\dot {A}}A^{T}=-\Omega }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b86089239c5337e7f426d553e29a950e90fc80f)
В антисиметричній матриці третього порядку є лише
три незалежні відмінні від нуля компоненти. Якщо ми їх позначимо наступним чином:
![{\displaystyle (15)\qquad \Omega ={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379af9dda269fc50ac69ae664ebc0529eb9cf654)
то дія такої матриці на вектор дорівнюватиме векторному добутку
на цей вектор:
![{\displaystyle (16)\qquad \Omega \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\omega _{y}z-\omega _{z}y\\\omega _{z}x-\omega _{x}z\\\omega _{x}y-\omega _{y}x\end{pmatrix}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd9c0bf28e2a241cfd6d1a6eaf4dea450df4337b)
Тепер формулу (9) ми можемо переписати так:
![{\displaystyle (17)\qquad \mathbf {v} _{abs}={\dot {\mathbf {R} }}={\dot {A}}\mathbf {x} +A{\dot {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {R} }}_{0}=\Omega A\mathbf {x} +\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e5fe27c78f0143bc7796620a336ea7f5dad525)
При записі останньої рівності ми скористалися формулами (4) і (16). Як бачимо, справжня (абсолютна швидкість) матеріальної точки складається з трьох доданків: швидкості
, пов'язаної з обертанням рухомої системи координат; швидкості
відносно цієї системи координат; та поступальної швидкості
з якою рухається початок координат
.
Прискорення
Продиференціюємо формулу (9) ще раз, одержимо:
![{\displaystyle (18)\qquad {\ddot {\mathbf {R} }}={\ddot {A}}\mathbf {x} +2{\dot {A}}{\dot {\mathbf {x} }}+A{\ddot {\mathbf {x} }}+{\ddot {\mathbf {R} }}_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c6f6c2649597018a1eb337843895e25e3dbf5d)
Обчислимо спочатку перший доданок формули (18):
![{\displaystyle (19)\qquad {\ddot {A}}\mathbf {x} ={d \over dt}\left(\Omega A\right)\mathbf {x} ={\dot {\Omega }}A\mathbf {x} +\Omega \left(\Omega A\right)\mathbf {x} ={\dot {\Omega }}\mathbf {r} +\Omega \left(\Omega \mathbf {r} \right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0927b0e52a41f83b14167b87bb6c45461e86bc)
Переходячи від матричних позначень до векторних за формулою (16), знаходимо:
![{\displaystyle (20)\qquad {\ddot {A}}\mathbf {x} ={\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0c15ecf460cdbbc77277eca1b6819ce59bc585)
Далі обчислюємо другий доданок, врахувавши формулу (11):
![{\displaystyle (21)\qquad 2{\dot {A}}{\dot {\mathbf {x} }}=2\Omega A{\dot {\mathbf {x} }}=2\Omega \mathbf {v} =2\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d711470e4374548deda50fdafdb1b7509782ac)
Третій доданок дорівнює прискоренню
відносно рухомої системи координат:
![{\displaystyle (22)\qquad A{\ddot {\mathbf {x} }}=\mathbf {a} _{1}{d^{2}x_{1} \over dt^{2}}+\mathbf {a} _{2}{d^{2}x_{2} \over dt^{2}}+\mathbf {a} _{3}{d^{2}x_{3} \over dt^{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279357803072aab152c551f5a2ed0ccfd695cba7)
Нарешті останній доданок враховує поступальне прискорення
початку координат рухомої системи.
Формула (1) є формулою класичної механіки, і її можна виводити не звертаючись до теорії відносності. Але вивід цієї (але вже уточненої) формули не складно зробити і в теорії відносності.
Виходячи з принципу еквівалентності, в довільній (в тому числі криволінійній) системі координат, добуток маси матеріальної точки на прискорення дорівнює:
![{\displaystyle (25)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}=-m\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over d\tau }{dx^{k} \over d\tau }+F^{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32cdef941e40be4e7373b3989febd5847c9f4fd2)
де
— власний час матеріальної точки, перший доданок (з символами Крістофеля) в правій стороні формули (25) відповідає силам інерції та гравітації, а другий доданок — це реальні сили
.
Зосередимося на силах інерції, поклавши
, а також вважаючи простір-час плоским, тобто відсутня гравітація, яка виникає внаслідок викривлення простору-часу. В плоскому просторі-часі можна обрати інерційну декартову систему координат
, де перша координата напрямлена вздовж осі часу
, а решта — це три просторові координати ![{\displaystyle x^{1}=x,\,x^{2}=y,\,x^{3}=z}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c5070b6f7e499d0edb7ceab3d234526f64fd92)
В цій системі координат метричний тензор є константою, тобто метрикою Мінковського:
![{\displaystyle (26)\qquad (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d616ff1253da2d17bd603a934f4c106d9d9718)
і всі символи Крістофеля дорівнюють нулю. В цій системі координат, згідно з (25), сили інерції дорівнюють нулю.
Розглянемо тепер іншу систему координат
, в ній символи Крістофеля дорівнюють:
![{\displaystyle (27)\qquad {\hat {\Gamma }}_{jk}^{i}=-{\partial x^{p} \over \partial {\hat {x}}^{j}}{\partial x^{q} \over \partial {\hat {x}}^{k}}{\partial ^{2}{\hat {x}}^{i} \over \partial x^{p}\partial x^{q}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc38ba42c2328090e246daff3c1d82f6214686f)
Чотиривимірні координати
Будемо вважати цю нову систему координат рухомою і декартовою щодо просторових координат, тобто функції переходу від рухомої до абсолютної системи координат
даються формулами аналогічними (8):
![{\displaystyle (28)\qquad x^{0}={\hat {x}}^{0}=ct}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b760621d7791d1973b956a3ab01542bb48efc1db)
![{\displaystyle \qquad x^{1}=a_{1}^{1}{\hat {x}}^{1}+a_{2}^{1}{\hat {x}}^{2}+a_{3}^{1}{\hat {x}}^{3}+b^{1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b335e51928374d4ebf9296f1d4048c21806911)
![{\displaystyle \qquad x^{2}=a_{1}^{2}{\hat {x}}^{1}+a_{2}^{2}{\hat {x}}^{2}+a_{3}^{2}{\hat {x}}^{3}+b^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566e5bbb771bc02de5560a733ea376dc20a74cbe)
![{\displaystyle \qquad x^{3}=a_{1}^{3}{\hat {x}}^{1}+a_{2}^{3}{\hat {x}}^{2}+a_{3}^{3}{\hat {x}}^{3}+b^{3}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5b995b32f2f5b7a3821f78e678b1be4a8d53b9)
де коефіцієнти
(при
) залежать тільки від часу, тобто від нульової координати
:
![{\displaystyle (29)\qquad a_{j}^{i}=a_{j}^{i}(t),\qquad b^{i}=b^{i}(t)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70288843c41d4b7c040fb98dbb0d03b5f4433ccc)
і коефіцієнти
разом утворюють тривимірну ортогональну матрицю.
Підставляючи функції (28) в (27), ми можемо обчислити всі коефіцієнти Крістофеля, а отже і траєкторію руху матеріальної точки за формулою (25), не вдаючись до аналізу сил інерції.
Тут ми обчислимо тільки матрицю переходу
між цими системами координат, відокремлюючи часову координату від просторових:
![{\displaystyle (30)\qquad {\partial x^{0} \over \partial {\hat {x}}^{0}}=1,\qquad {\partial x^{0} \over \partial {\hat {x}}^{i}}=0,\qquad {\partial x^{i} \over \partial {\hat {x}}^{j}}=a_{j}^{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cc838aaceb9509892479e3686c94ff40ea2808)
![{\displaystyle (31)\qquad {\partial x^{i} \over \partial {\hat {x}}^{0}}={1 \over c}\left(\sum _{k=1}^{3}{\dot {a}}_{k}^{i}{\hat {x}}^{k}+{\dot {b}}^{i}\right)={u^{i} \over c}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78214355d6ba4c50eb4f20f976d08e3a6b352284)
В формулах (30), (31) індекси
пробігають просторові компоненти
. У формулі (31) через
позначено швидкість точок рухомої системи координат відносно нерухомої:
![{\displaystyle (32)\qquad \mathbf {u} ={\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }}=\Omega (A\mathbf {x} )+\mathbf {v} _{0}=\Omega \mathbf {r} +\mathbf {v} _{0}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\mathbf {v} _{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe512be603a6e5c65d77fe8335922d189384ebf)
Тривимірний образ сил інерції
Величина з одним індексом:
![{\displaystyle (33)\qquad {\tilde {F}}^{i}=-m{\hat {\Gamma }}_{jk}^{i}{d{\hat {x}}^{j} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{k} \over d\tau }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c838cc482b430afb53503e7378a5b147b67eccbd)
подібна до 4-вектора, але «неправильно» змінюються при заміні координат. Зафіксувавши нашу рухому систему координат
, ми можемо розглянути два геометричні об'єкти: 4-вектор
і тривимірну гіперповерхню (в даному разі це гіперплощина), яка залежить від трьох параметрів
при фіксованому часі
. Ми можемо ортогонально спроектувати
на цю гіперповерхню, і одержати тривимірний вектор сили інерції. Координати цього вектора будуть виражатися через коваріантні координати псевдовектора
![{\displaystyle (34)\qquad ({\tilde {F}})_{i}=-{\hat {g}}_{ij}{\tilde {F}}^{j}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919eb53237239d7ae8303ba24bee96639926116a)
Докладніше про це у статті «Тривимірні тензори всередині чотиривимірних». Отже маємо вираз сили інерції через символи Крістофеля з нижніми індексами:
![{\displaystyle (35)\qquad ({\tilde {F}})_{i}=m{\hat {\Gamma }}_{jk,i}{d{\hat {x}}^{j} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{k} \over d\tau }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed698e014f159531add311fdd88ffa5b55d8b18)
Цю формулу ми розглядаємо, обмежившись просторовими значеннями індексу
Символи Крістофеля обчислюються через метричний тензор за формулою:
![{\displaystyle (36)\qquad {\hat {\Gamma }}_{jk,i}={1 \over 2}\left({\partial {\hat {g}}_{ik} \over \partial {\hat {x}}^{j}}+{\partial {\hat {g}}_{ji} \over \partial {\hat {x}}^{k}}-{\partial {\hat {g}}_{jk} \over \partial {\hat {x}}^{i}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c377836f8fc380de9ff8d1fd8268b094a043a72e)
Отже нам треба спочатку обчислити метричний
тензор в рухомій системі координат.
Метрика в неінерційній системі відліку
Оскільки в абсолютній системі координат метричний тензор дорівнює метриці Мінковського (26), ми можемо за тензорними правилами перерахувати цей тензор в рухому систему координат:
![{\displaystyle (37)\qquad {\hat {g}}_{ij}={\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{i}}{\partial x^{l} \over \partial {\hat {x}}^{j}}={\partial x^{0} \over \partial {\hat {x}}^{i}}{\partial x^{0} \over \partial {\hat {x}}^{j}}-\sum _{k=1}^{3}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{i}}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{j}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2a5c0830b73e2415ee87d202ddf7c6f4035751)
Якщо обидва індекси
набувають просторових значень
, то перший доданок дорівнюватиме нулю згідно з (30). Знаходимо:
![{\displaystyle (38)\qquad {\hat {g}}_{ij}=-\sum _{k=1}^{3}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{i}}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{j}}=-\sum _{k=1}^{3}a_{i}^{k}a_{j}^{k}=-(A^{T}A)_{ij}=-\delta _{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6676a729abc5cd4bc45b9e6b68ab785ee2bf1a76)
оскільки матриця
ортогональна.
Далі, знаходимо мішані просторово-часові компоненти метричного тензора, тут також перший доданок в правій частині формули (37) перетворюється в нуль:
![{\displaystyle (39)\qquad {\hat {g}}_{0i}=-\sum _{k=1}^{3}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{0}}{\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{i}}=-\sum _{k=1}^{3}{u^{k} \over c}a_{i}^{k}=-{1 \over c}(A^{-1}\mathbf {u} )_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d18cf757ddb32997c3d1ee5de05fbad5a6f7fb)
тобто дорівнюють компонентам швидкості
в рухомій системі координат.
Нарешті, часова компонента метричного тензора дорівнює:
![{\displaystyle (40)\qquad {\hat {g}}_{00}=\left({\partial x^{0} \over \partial {\hat {x}}^{0}}\right)^{2}-\sum _{k=1}^{3}\left({\partial x^{k} \over \partial {\hat {x}}^{0}}\right)^{2}=1-{\mathbf {u} ^{2} \over c^{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153780f52e3c4590d6943260b42dc01b1c14b6f0)
Формули (38-40) повністю описують метричний тензор, який ми тепер можемо зобразити у вигляді матриці:
![{\displaystyle (41)\qquad ({\hat {g}}_{ij})={\begin{bmatrix}1-{\mathbf {u} ^{2} \over c^{2}}&-{u_{x} \over c}&-{u_{y} \over c}&-{u_{z} \over c}\\-{u_{x} \over c}&-1&0&0\\-{u_{y} \over c}&0&-1&0\\-{u_{z} \over c}&0&0&-1\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90dc228434dd7a27b75a107176cba7411faffad2)
Користуючись метричним тензором ми можемо обчислити диференціал власного часу матеріальної точки:
![{\displaystyle (42)\qquad c^{2}(d\tau )^{2}={\hat {g}}_{ij}d{\hat {x}}^{i}d{\hat {x}}^{j}=\left(1-{\mathbf {u} ^{2} \over c^{2}}\right)(d{\hat {x}}^{0})^{2}+2\sum _{i=1}^{3}\left(-{u^{i} \over c}\right)d{\hat {x}}^{0}d{\hat {x}}^{i}-\sum _{i=1}^{3}(d{\hat {x}}^{i})^{2}=\left(c^{2}-(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{2}\right)dt^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a971a31deb2a5d64324731f994ae0303561e269)
![{\displaystyle (43)\qquad d\tau ={\sqrt {1-{\mathbf {v} _{abs}^{2} \over c^{2}}}}dt}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d5fa360f8924f743a591f74e4c6d3163ad53c4)
Продовження обчислень сил інерції
Розділимо суму в правій частині формули (35) на три доданки, відокремлюючи доданки з просторовими координатами від доданків з часовою координатою:
![{\displaystyle (44)\qquad ({\tilde {F}})_{i}=m{\hat {\Gamma }}_{00,i}{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }+2m\sum _{j=1}^{3}{\hat {\Gamma }}_{0j,i}{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{j} \over d\tau }+m\sum _{j,k=1}^{3}{\hat {\Gamma }}_{jk,i}{d{\hat {x}}^{j} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{k} \over d\tau }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b475b2fff2177dd7c2b2a3095f719a9f614c92c9)
Почнемо аналіз цієї формули з останнього доданка. Оскільки символи Крістофеля обчислюються за формулою (36), а просторова частина метричного тензора є константою (38), то символи Крістофеля перетворюються в нуль і останній доданок у формулі (44) зникає.
Далі розглянемо середній доданок — він пропорційний швидкості а тому є силою Коріоліса. Знаходимо відповідний символ Крістофеля:
![{\displaystyle (45)\qquad {\hat {\Gamma }}_{0j,i}={1 \over 2}\left({\partial {\hat {g}}_{ij} \over \partial {\hat {x}}^{0}}+{\partial {\hat {g}}_{0i} \over \partial {\hat {x}}^{j}}-{\partial {\hat {g}}_{0j} \over \partial {\hat {x}}^{i}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757908de8bf43173f66b067dd6959451d7e33cea)
Перший доданок у формулі (45) дорівнює нулю внаслідок (38), а решта два доданки в сумі дають деяку тривимірну антисиметричну за індексами
матрицю. Ця матриця є по-перше, компонентами ротора векторного поля
, обчисленими в рухомій системі координат; а по-друге, ця матриця з точністю до постійного множника
збігається з матрицею
(формула (13)), але компоненти якої обчислені в рухомій системі координат:
![{\displaystyle (46)\qquad {\hat {\Gamma }}_{0j,i}={1 \over 2}\left({\partial \over \partial {\hat {x}}^{j}}(-{1 \over c}A^{T}\mathbf {u} )_{i}-{\partial \over \partial {\hat {x}}^{i}}(-{1 \over c}A^{T}\mathbf {u} )_{j}\right)=}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f894bd2f723afc9f554a1634ffc011df8c8dcb73)
![{\displaystyle =-{1 \over 2c}\left({\partial \over \partial {\hat {x}}^{j}}(A^{T}{\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+A^{T}{\dot {\mathbf {b} }})_{i}-{\partial \over {\hat {\partial }}x^{i}}(A^{T}{\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }})_{i}\right)=-{1 \over c}\left(A^{T}{\dot {A}}\right)_{ij}=-{1 \over c}\left(A^{T}\Omega A\right)_{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f0e144a23ec9fdb2bfb14237ec9de962b07d33)
Отже сила Коріоліса дорівнює:
![{\displaystyle (47)\qquad ({\tilde {F}})_{i}=2m\sum _{j=1}^{3}{\hat {\Gamma }}_{0j,i}{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{j} \over d\tau }=-2m{1 \over c}\sum _{j=1}^{3}\left(A^{T}\Omega A\right)_{ij}c({dt \over d\tau })^{2}{d{\hat {x}}^{j} \over dt}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef54f9dd464f81655039f62f42bbbd93994ca73)
Враховуючи формулу (43), ми можемо записати цю формулу у векторному вигляді:
![{\displaystyle (48)\qquad \mathbf {F} _{Corr}=-{2m({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} ) \over 1-{\mathbf {v} _{abs}^{2} \over c^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144cfbc6a3dc2e0d4a5073e3d9bbcc5b9ef70d53)
Обчислимо, нарешті, перший доданок у формулі (44). Для цього знаходимо відповідний символ Крістофеля:
![{\displaystyle (49)\qquad {\hat {\Gamma }}_{00,i}={1 \over 2}\left(2{\partial {\hat {g}}_{0i} \over \partial {\hat {x}}^{0}}-{\partial {\hat {g}}_{00} \over \partial {\hat {x}}^{i}}\right)={1 \over c}{\partial \over \partial t}\left(-{1 \over c}A^{T}\mathbf {u} \right)_{i}-{1 \over 2}{\partial \over \partial {\hat {x}}^{i}}\left(1-{\mathbf {u} ^{2} \over c^{2}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa13ca0da570cf4a6a321a7f610ecd41adb6e75)
Розпишемо докладніше обидва доданки цієї формули, підставляючи вираз для
із формули (32) і виконуючи диференціювання. Перший доданок дорівнює:
![{\displaystyle (50)\qquad -{1 \over c^{2}}{\partial \over \partial t}{\bigg |}_{{\hat {x}}=const}\left(A^{T}({\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }})\right)_{i}=-{1 \over c^{2}}\left[{\dot {A}}^{T}({\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }})+A^{T}({\ddot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\ddot {\mathbf {b} }})\right]_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29c3a42492918c7cd37a012a16176f1fa060af0e)
а другий:
![{\displaystyle (51)\qquad {1 \over 2c^{2}}{\partial \over \partial {\hat {x}}^{i}}({\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }})^{2}={1 \over c^{2}}\left[{\dot {A}}^{T}({\dot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {\mathbf {b} }})\right]_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d957a82fa669c5e099b7adbeb7fdc63e7eb71993)
Як бачимо, доданок (51) знищується з першим доданком в правій частині формули (50). Отже для символу Крістофеля маємо:
![{\displaystyle (52)\qquad {\hat {\Gamma }}_{00,i}=-{1 \over c^{2}}\left(A^{T}({\ddot {A}}{\hat {\mathbf {x} }}+{\ddot {\mathbf {b} }})\right)_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c9774b5dd6f081bccaf1ec8d8a267f9d52150c)
Враховуючи формулу (20), формула (52) є просто координатою (відносно рухомої системи координат) наступного тривимірного вектора:
![{\displaystyle (54)\qquad -{1 \over c^{2}}\left({\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )+\mathbf {a} _{0}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7715ee02dd119aa70bbba9240f20b9537ca77c7f)
Отже у векторному виді перший доданок (44) запишеться так:
![{\displaystyle (55)\qquad m{\hat {\boldsymbol {\Gamma }}}_{00}{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }{d{\hat {x}}^{0} \over d\tau }=-{m \over c^{2}}\left({\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )+\mathbf {a} _{0}\right)\left(c{dt \over d\tau }\right)^{2}={-m({\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} )-m({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ))-m\mathbf {a} _{0} \over 1-{\mathbf {v} _{abs}^{2} \over c^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b34727722b5e372723b6af15db0a6a00c9ccdc)
Підставляючи (48) і (55) в формулу (44), і згадуючи, що третій доданок в правій частині (44) дорівнює нулю, одержуємо остаточний вираз для сил інерції:
![{\displaystyle (56)\qquad {\tilde {\mathbf {F} }}={{-m\left({\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} \right)-m\left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\right)-2m\left({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \right)-m\mathbf {a} _{0}} \over {1-{\mathbf {v} _{abs}^{2} \over c^{2}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b65995df0ea202d2cd194f1e4eca05a074f22d)
Порівняємо цю формулу з формулою (24), одержаною в класичній механіці. Єдиною відмінністю є знаменник в (56), який враховує уповільнення часу (формула 43), що пов'язане з рухом матеріальної точки.
Цікаво, що в формулі (56) для системи координат, що обертається, знаменник може перетворитися в нуль або стати від'ємним. Адже далеко від осі обертання швидкість рухомої системи координат відносно нерухомої може перевищити швидкість світла. Ясно, що на таких відстанях не може існувати матеріального тіла, яке б рухалося разом із системою координат — в цьому разі і система координат, і сила (56) стають не більше ніж математичною абстракцією, що не має фізичного трактування.