Опукла функція

Опукла функція, або опукла вниз функція^[1] — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leqslant \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y),\quad \forall \lambda \in [0;1].}$

Опукла функція однієї змінної

Нехай область визначення опуклої функції ${\displaystyle f(x)}$ лежить в скінченновимірному просторі, тоді ${\displaystyle f(x)}$ неперервна в будь-якій внутрішній точці цієї області.

Властивості опуклих функцій

Нехай ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ — будь-які точки із області визначення опуклої функції ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють ${\displaystyle 1}$. Тоді

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}f(x_{i})}$.

Якщо ${\displaystyle f(x)}$ — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних не від'ємно визначена.

Сильно опукла функція

Поняття сильно опуклої функції розширює та параметризує поняття строгої опуклості. Сильно опукла функція також є строго опуклою, але не навпаки.

Диференційовна функція f називається сильно опуклою з параметром m > 0 якщо для всіх точок x, y в її домені зберігається наступна нерівність:^[2]

${\displaystyle (\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y)\geq m\|x-y\|_{2}^{2}}$

або більш загально,

${\displaystyle \langle \nabla f(x)-\nabla f(y),(x-y)\rangle \geq m\|x-y\|^{2}}$

де ${\displaystyle \|\cdot \|}$ будь-яка норма.

Операції, що зберігають опуклість

• Якщо f і g є опуклими функціями, тоді ${\displaystyle m(x)=\max\{f(x),g(x)\}}$ і ${\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)}$ також опуклі.
• Якщо f і g є опуклими функціями і g є неспадною, тоді ${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$ є опуклою. Наприклад, якщо f(x) є опуклою, тоді ${\displaystyle e^{f(x)}}$, також опукла, тому що ${\displaystyle e^{x}}$ є опуклою і монотонно висхідною.
• Якщо f є угнутою і g є опуклою і невисхідною, тоді ${\displaystyle h(x)=g(f(x))}$ є опуклою.
• Опуклість незмінна при застосування афінного відображення: тобто, якщо f є опуклою із областю визначення ${\displaystyle D_{f}\subseteq \mathbf {R} ^{m}}$, тоді ${\displaystyle g(x)=f(Ax+b)}$ також опукла, де ${\displaystyle A\in \mathbf {R} ^{m\times n},b\in \mathbf {R} ^{m}}$ з областю визначення ${\displaystyle D_{g}\subseteq \mathbf {R} ^{n}}$.
• Якщо f(x, y) є опуклою по x тоді ${\displaystyle g(x)=\sup _{y\in C}f(x,y)}$ є опуклою по x, якщо ${\displaystyle g(x)>-\infty }$ для якогось x, навіть якщо C не є опуклою множиною.
• Якщо f(x) є опуклою, тоді її перспектива ${\displaystyle g(x,t)=tf(x/t)}$ (чия область визначення — ${\displaystyle \left\lbrace (x,t)|{\tfrac {x}{t}}\in {\text{Dom}}(f),t>0\right\rbrace }$) є опуклою.
• Протилежна до опуклої функції функція є угнутою.
• Якщо ${\displaystyle f(x)}$ є опуклою дійснозначимою функцією, тоді ${\displaystyle f(x)=\sup _{n}(a_{n}x+b_{n})}$ для зліченного набору дійсних чисел ${\displaystyle (a_{n},b_{n}).}$

Див. також

• Увігнута функція
• Точка перегину
• Опукла множина
• Задача опуклого програмування
• Квазіопукла функція
• Субдиференціал
• Опуклий аналіз