Угнута функція

Угнута (увігнута) функція, або опукла вгору функція^[1] — протилежність до опуклої функції. До угнутих функцій належать неперервні функції з від'ємною другою похідною.

Довільна неперервна функція не обов'язково або опукла, або угнута, але вона може бути опуклою або угнутою на певних інтервалах, розділених точками перегину.

Означення

Ілюстрація угнутості функції

Дійсна функція ${\displaystyle f}$ визначена на інтервалі (або на будь-якій опуклій множині C деякого векторного простору) називається увігнутою, якщо для ${\displaystyle \forall x,\forall y}$ в її області визначення ${\displaystyle C}$ маємо

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\geqslant tf(x)+(1-t)f(y),\quad \forall t\in [0;1].}$

Функція називається строго увігнутою, якщо

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)>tf(x)+(1-t)f(y)\,\quad \forall t\in (0;1),\quad x\neq y.}$

Для функції ${\displaystyle f\colon R\to R}$ це означення просто стверджує, що ${\displaystyle \forall z\in (x;y)}$ точки ${\displaystyle (z;f(z))}$ на графіку ${\displaystyle f}$ є вище прямої, що з'єднує точки ${\displaystyle (x;f(x))}$ та ${\displaystyle (y;f(y))}$.

Функція ${\displaystyle f(x)}$ є квазіувігнутою, якщо множини верхнього контуру функції ${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geqslant a\}}$ є опуклими множинами.^[2]

Властивості

Приклади

• Функції ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ і ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ є увігнутими, оскільки їхні другі похідні завжди від'ємні.
• Будь-яка лінійна функція ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ одночасно й увігнута, й опукла.
• Функція ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ є увігнутою на відрізку ${\displaystyle [0,\pi ]\,}$.
• Функція ${\displaystyle \log |B|}$, де ${\displaystyle |B|}$ є визначником додатноозначеної матриці ${\displaystyle B}$, є увігнутою.^[3]

Див. також

• Опукла функція
• Нерівність Єнсена
• Точка перегину
• Опуклий аналіз

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Опуклість та вгнутість функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 317. — 594 с.
• Crouzeix, J.-P. (2008). Quasi-concavity. У Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (ред.). The New Palgrave Dictionary of Economics (вид. Second). Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1375.