Угнута функція

Угнута (увігнута) функція, або опукла вгору функція^[1] — протилежність до опуклої функції. До угнутих функцій належать неперервні функції з від'ємною другою похідною.

Довільна неперервна фукнція не обов'язково або опукла, або угнута, але вона може бути опуклою або угнутою на певних інтервалах, розділених точками перегину.

Означення

Ілюстрація угнутості функції

Дійсна функція ${\displaystyle f}$ визначена на інтервалі (або на будь-якій опуклій множині C деякого векторного простору) називається увігнутою, якщо для ${\displaystyle \forall x,\forall y}$ в її області визначення ${\displaystyle C}$ маємо

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\geqslant tf(x)+(1-t)f(y),\quad \forall t\in [0;1].}$

Функція називається строго увігнутою, якщо

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)>tf(x)+(1-t)f(y)\,\quad \forall t\in (0;1),\quad x\neq y.}$

Для функції ${\displaystyle f\colon R\to R}$ це означення просто стверджує, що ${\displaystyle \forall z\in (x;y)}$ точки ${\displaystyle (z;f(z))}$ на графіку ${\displaystyle f}$ є вище прямої, що з'єднує точки ${\displaystyle (x;f(x))}$ та ${\displaystyle (y;f(y))}$.

Функція ${\displaystyle f(x)}$ є квазіувігнутою, якщо множини верхнього контуру функції ${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geqslant a\}}$ є опуклими множинами.^[2]

Властивості

Приклади

• Функції ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ і ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ є увігнутими, оскільки їхні другі похідні завжди від'ємні.
• Будь-яка лінійна функція ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ одночасно й увігнута, й опукла.
• Функція ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ є увігнутою на відрізку ${\displaystyle [0,\pi ]\,}$.
• Функція ${\displaystyle \log |B|}$, де ${\displaystyle |B|}$ є визначником додатноозначеної матриці ${\displaystyle B}$, є увігнутою.^[3]

Див. також

• Опукла функція
• Нерівність Єнсена
• Точка перегину
• Опуклий аналіз

Джерела

1. Заболоцький, М. В.; Сторож, О. Г.; Тарасюк, С. І. (2008). 7.3. Опуклість функції (с. 133). Математичний аналіз. Київ: Знання. с. 421. ISBN 978-966-346-323-0.
2. Varian, Hal A. (1992) Microeconomic Analysis. Third Edition. W.W. Norton and Company. p. 496
3. Thomas M. Cover and J. A. Thomas (1988). Determinant inequalities via information theory. SIAM journal on matrix analysis and applications. 9 (3): 384—392.

• Crouzeix, J.-P. (2008). Quasi-concavity. У Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (ред.). The New Palgrave Dictionary of Economics (вид. Second). Palgrave Macmillan. doi:10.1057/9780230226203.1375.
• Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. с. 779. ISBN 0470183527.

Посилання

• Опуклість та вгнутість функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 317. — 594 с.