Оператори народження та знищення

Опера́тори наро́дження та зни́щення — пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторів, зручних для запису гамільтоніанів квантовомеханічної системи у представленні вторинного квантування.

Оператори народження й знищення визначаються з певними комутаційними властивостями, різними для ферміонів та бозонів.

Оператори народження й знищення позначаються однією літерою, але до символу оператора народження додається додатковий символ спряження. Наприклад, оператору знищення ${\displaystyle {\hat {a}}\,}$ відповідає оператор народження ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$.

Ферміони

Для поля ферміонів вводиться особливий вакуумний стан ${\displaystyle |0\rangle }$, який відповідає відсутності частинки. Діючи на цей нульовий вакуумний стан, оператор народження «створює» частинку з хвильовою функцією ${\displaystyle \psi }$:

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|0\rangle =|\psi \rangle }$.

Відповідним чином, оператор знищення, діючи на хвильову функцію частинки ${\displaystyle |\psi \rangle }$, знищує частинку, переводячи систему в стан ${\displaystyle |0\rangle }$.

${\displaystyle {\hat {a}}|\psi \rangle =|0\rangle }$.

Дія оператора знищення на нульовий стан дає нуль

${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$.

Відповідно, дія оператора народження на стан ${\displaystyle |\psi \rangle }$, теж дає нуль.

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|\psi \rangle =0}$.

Оператор народження й знищення задовольняють наступному антикомутаційному співвідношенню

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }=1}$.

Оператор числа частинок задається виразом

${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$.

Вочевидь

${\displaystyle {\hat {N}}|0\rangle =0;\qquad {\hat {N}}|\psi \rangle =1|\psi \rangle .}$

Різні стани

Для ферміона, який може перебувати в різних станах, оператори народження й знищення визначаються для кожного з цих станів.

Нехай у гільбертовому просторі станів ферміона заданий ортоноромований базис ${\displaystyle \psi _{n}=|n\rangle }$. Оператори народження й знищення ${\displaystyle {\hat {a}}_{n}^{\dagger }}$ і ${\displaystyle {\hat {a}}_{n}}$ для різних станів комутують між собою.

${\displaystyle {\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n^{\prime }}-{\hat {a}}_{n^{\prime }}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }=0}$ при ${\displaystyle n\neq n^{\prime }}$.

Будь-який квантовомеханічний оператор ${\displaystyle {\hat {A}}}$ можна записати у вигляді

${\displaystyle {\hat {A}}=\sum _{n,n^{\prime }}A_{n,n^{\prime }}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n^{\prime }}}$,

де

${\displaystyle A_{n,n^{\prime }}=\langle n|{\hat {A}}|n^{\prime }\rangle }$ — матричний елемент оператора.

Гамільтоніан

Виражений через оператори народження й знищення, гамільтоніан квантовомеханічної системи, набирає особливо зручного вигляду, якщо ортогональний базис, для якого визначаються оператори народження й знищення, відповідає власним функціям певного модельного гамільтоніану ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$:

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$.

Розбиваючи гамільтоніан на дві частини:

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}}$,

й переходячи до зображення операторів народження й знищення, його можна записати, як

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n}E_{n}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n}+\sum _{n,n^{\prime }}V_{n,n^{\prime }}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n^{\prime }}}$

Бозони

Для бозонів оператори народження й знищення вводяться аналогічно тому, як це робиться для гармонічного осцилятора.

Бозони є квантовим аналогом класичних полів, які характеризуються інтенсивністю. При переході до квантової механіки ця характеристика зберігається у вигляді числа частинок у певному стані. Для стану ${\displaystyle |n\rangle }$ можна ввести оператор кількості частинок ${\displaystyle {\hat {N}}}$, виходячи із співвідношення

${\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle }$.

Оператор числа частинок виражається через оператори народження й знищення аналогічно тому, як для ферміонів

${\displaystyle {\hat {N}}=a^{\dagger }a}$.

Нульовий (вакуумний) стан ${\displaystyle |0\rangle }$ відповідає відсутності частинок. Стан із одним бозоном утворюється із нульового стану, якщо подіяти на нього оператором народження

${\displaystyle a^{\dagger }|0\rangle =|1\rangle }$.

Відповідно, ${\displaystyle a|1\rangle =|0\rangle }$.

З огляду на те, що хвильові функції бозонів симетричні щодо перестановки частинок, оператори народження й знищення для них задовільняють комутаційним співвідношенням

${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=aa^{\dagger }-a^{\dagger }a=1}$.

Для опису полів, наприклад електромагнітного поля оператори народження й знищення вводяться для кожної частоти фотона.

Гамільтоніан поля має вигляд

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{\mathbf {k} }\hbar \omega _{\mathbf {k} }\left(a_{\mathbf {k} }^{\dagger }a_{\mathbf {k} }+{\frac {1}{2}}\right)}$,

де ${\displaystyle \hbar }$ — зведена стала Планка, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — хвильовий вектор, ${\displaystyle \omega _{\mathbf {k} }}$ — частота хвилі з хвильовим вектором ${\displaystyle \mathbf {k} }$. Доданок 1/2 відповідає енергії нульових коливань.

Джерела

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.