Квадратна антипризма

Квадра́тна антипри́зма (антикуб^[1]) — призматоїд, у якого дві паралельні грані (основи) — рівні між собою квадрати, а решта 8 граней (бічні грані) — правильні трикутники.

Однорідна квадратна антипризма
Квадратна антипризма
Тип	Призматичний однорідний многогранник
Граней	8 трикутників 2 квадрати
Ребер	16
Вершин	8
χ	${\displaystyle \Gamma -P+B=2}$
Конфігурація вершин	3.3.3.4
Символ Витофа	| 2 2 4
Символ Шлефлі	s{2,8} sr{2,4}
Діаграма Коксетера
Група симетрії	D4, [4,2]+, (442), порядок=8
Дуальний многогранник	тетрагональний трапецоедр[en]
Опуклий, рівносторонній
Вершинна діаграма
Розгортка

Також, квадра́тна антипри́зма — чотирикутна рівностороння антипризма. Квадратні грані основ повернені одна відносно іншої на кут 45°.

Цей многогранник є напівправильним многогранником або однорідним многогранником.

А також є другим многогранником у нескінченному ряду однорідних антипризм.

Якщо вісім точок розмістити на сфері з метою максимізації відстаней між ними в певному сенсі^{[уточнити]}, фігура, що вийшла, відповідає швидше квадратній антипризмі, ніж кубу. Специфічні методи розподілу точок включають, наприклад, задачу Томсона^[en] (мінімізація суми величин, обернених до відстаней між точками), максимізацію відстаней від точки до найближчої або мінімізацію суми всіх обернених квадратів відстаней між точками.

Формули

Квадратна антипризма має 12 діагоналей: 4 граневих та 8 просторових.

Якщо квадратна антипризма має ребро довжиною ${\displaystyle a}$, то довжина граневої діагоналі дорівнює ${\displaystyle {\sqrt {2}}\ \cdot a\approx 1,4142\cdot a}$;

довжина просторової діагоналі дорівнює ${\displaystyle {\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}\ \cdot a\approx 1,5538\cdot a}$.

Радіус описаної сфери:

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {4+\csc ^{2}({\frac {\pi }{8}})}}\cdot a={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2\cdot (4+{\sqrt {2}})}}\cdot a\approx 0.822664388\cdot a}$

Радіус напіввписаної сфери (дотична до ребер многогранника):

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\cdot \csc({\frac {\pi }{8}})\cdot a={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2\cdot (2+{\sqrt {2}})}}\cdot a\approx 0.653281482\cdot a}$

Об'єм правильної квадратної антипризми з довжиною ребра ${\displaystyle a}$ обчислюють за такою формулою:

${\displaystyle V={\frac {4{\sqrt {4\cos ^{2}{\frac {\pi }{8}}-1}}\sin {\frac {3\pi }{8}}}{12\sin ^{2}{\frac {\pi }{4}}}}\cdot a^{3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\cdot a^{3}\approx 0.956999981\cdot a^{3}}$ ,

а площа поверхні :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\cdot 4\left(\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{4}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}=2\cdot (1+{\sqrt {3}})\cdot a^{2}\approx 5.464101615\cdot a^{2}}$

(Також площу поверхні можна обчислити з урахуванням того, що розгортка складається з двох квадратів і восьми рівносторонніх трикутників).

Висота (відстань між паралельними чотирикутними гранями):

${\displaystyle H={\sqrt {1-{\frac {1}{4}}\sec ^{2}({\frac {\pi }{8}})}}\cdot a={\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\cdot a\approx 0.840896415\cdot a}$

Кути многогранника
Двогранний кут між гранями {3} та {3}	${\displaystyle \alpha =\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\cdot \left(2{\sqrt {2}}-1\right)\right)}$	≈ 2.2261954369 rad ≈ 127° 33′ 5.7704608497′′
Двогранний кут між гранями {3} та {4}	${\displaystyle \beta =\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}}{3}}\right)}$${\displaystyle ={\frac {\pi }{2}}+\arctan \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {3{\sqrt {2}}-4}}\right)}$	≈ 1.8122828829922 rad ≈ 103° 50′ 10.177725323′′
Тілесний кут при вершині		${\displaystyle \Omega \thickapprox 1.79377133260975}$ ср
Тілесний кут, під яким квадратну грань видно з центру протилежної квадратної грані	${\displaystyle \Omega _{1}=2\pi -8\cdot \arcsin \left({\sqrt {\frac {4-{\sqrt {2}}}{7}}}\right)}$${\displaystyle =2\pi -8\cdot \arctan \left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)}$	${\displaystyle \Omega _{1}\thickapprox 1.0570766603098}$ ср
Сферичність	${\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{4\pi \left(4+3{\sqrt {2}}\right)}}{2\left(1+{\sqrt {3}}\right)}}}$	${\displaystyle \Psi \thickapprox 0.8594883}$

Молекули з квадратною антипризматичною геометрією

Квадратна антипризматична молекулярна геометрія

Відповідно до теорії ВЕПВО молекулярної геометрії в хімії, яка ґрунтується на принципі максимізації відстаней між точками, квадратна антипризма є найкращою геометрією, якщо вісім пар електронів оточують центральний атом. Одна з молекул з такою геометрією — йон октафтороксенату (VI) (XeF₈²⁻) у солі октафтороксенату(VI) нітрозилу^[en]. Однак ця молекула далека від ідеальної квадратної антипризми^[2]. Дуже мало йонів мають кубічну форму, оскільки така форма призвела б до сильного відштовхування лігандів. PaF₈³⁻ є одним із небагатьох прикладів^[3].

Крім того, найстійкішою алотропною формою сірки є восьмиатомні молекули S₈. Молекула S₈ має структуру на основі квадратної антипризми. У цій молекулі атоми займають вісім вершин антипризми, а вісім ребер між трикутниками відповідають ковалентному зв'язку між атомами сірки.

Узагальнення

Чотирикутна антипризма

Чотирикутна антипризма — призматоїд, у якого дві паралельні грані (основи) — рівні між собою 4-кутники, а решта 8 граней (бокові грані) — різносторонні трикутники.

Квадратна неоднорідна антипризма

Квадратна антипризма (неоднорідна) — чотирикутна антипризма, основами якої є рівні між собою квадрати, а бокові грані — рівнобедрені трикутники.

Квадратні грані основ повернені одна відносно іншої на кут 45°.

Якщо цей кут має інше значення, многогранник правильніше називати квадратною скрученою призмою (square gyroprism^[4]). В цьому випадку бокові грані — рівні між собою різносторонні трикутники.

Топологічно еквівалентні многогранники

Скручена призма (за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки) може мати те саме розташування вершин. Цей многогранник можна розглядати як форму, зібрану з 4 тетраедрів з вирізаними частинами. Однак після вирізання тіло не можна розбити на тетраедри без додавання нових вершин. Тіло має половину симетрій однорідного тіла: D_n, [4,2]^+[5][6].

Пов'язані многогранники

Похідні многогранники

Скручена подовжена чотирикутна піраміда — правильногранний многогранник (J₁₀ = М₂+А₄), отриманий подовженням квадратної піраміди. Так само, скручена подовжена чотирикутна біпіраміда (J₁₇ = М₂+А₄+М₂) є дельтаедром (многогранником, грані якого — правильні трикутники), побудованим заміною обох квадратів квадратної антипризми квадратними пірамідами.

Кирпатий двоклиноїд^[en] (J₈₄ = М₂₅) — інший дельтаедром, який отримують заміною двох квадратів квадратної антипризми парами рівносторонніх трикутників. Кирпату квадратну антипризму^[en] (J₈₅ = М₂₈) можна розглядати як квадратну антипризму, отриману вставленням ланцюжка рівносторонніх трикутників. Клинокорона^[en] (J₈₆ = М₂₁) і велика клинокорона^[en] (J₈₈ = М₂₃) — інші правильногранні многогранники, які, подібно до решти квадратних антипризм, складаються з двох квадратів і парного числа рівносторонніх трикутників.

Квадратну антипризму можна зрізати та альтернувати для утворення кирпатих антипризм^[en]:

Кирпаті антипризми

Антипризма	Зрізання t	Альтернування[en] ht
s{2,8}	ts {2,8}	ss {2,8}

Аналогічні многогранники

Як антипризма, квадратна антипризма належить до родини многогранників, до яких входять октаедр (який можна розглядати як трикутну антипризму), п'ятикутна антипризма, шестикутна антипризма та восьмикутна антипризма.

Родина однорідних n-кутних антипризм

• п
• о
• р

Многогранник												...
Сферична мозаїка												Плоска мозаїка
Конфігурація	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

Квадратна антипризма є першою в ряду кирпатих многогранників та мозаїк із вершинною фігурою 3.3.4.3.n.

4n2 симетрії кирпатих мозаїк: 3.3.4.3.n
Симметрия 4n2	Сферична		Евклідова	Компактна гіперболічна				Paracomp.
	242	342	442	542	642	742	842	∞42
Кирпаті мозаїки
Конфіг.	3.3.4.3.2	3.3.4.3.3	3.3.4.3.4	3.3.4.3.5	3.3.4.3.6	3.3.4.3.7	3.3.4.3.8	3.3.4.3.∞
Гіро- мозаїки
Конфіг.	V3.3.4.3.2	V3.3.4.3.3	V3.3.4.3.4	V3.3.4.3.5	V3.3.4.3.6	V3.3.4.3.7	V3.3.4.3.8	V3.3.4.3.∞

В архітектурі

Всесвітній торговий центр 1

Головна будівля в комплексі Всесвітнього торгового центру (на місці старого Всесвітнього торгового центру, зруйнованого 11 вересня 2001) має форму дуже високої квадратної антипризми, що звужується до верху. Будівля не є справжньою антипризмою, оскільки вона звужується до верху — верхній квадрат має вдвічі меншу площу, ніж основа.

Див. також

• Призматичний однорідний многогранник

Примітки

1. Holleman-Wiberg, 2001, с. 299.
2. Peterson, Holloway, Coyle, Williams, 1971, с. 1238–1239.
3. Norman & Earnshaw, 1997, с. 1275.
4. Square gyroprism. Polytope Wiki (англ.). 27 грудня 2022. Процитовано 27 червня 2023.
5. Gorini, 2003, с. 172.
6. Рисунки скрученных призм и антипризм. Архів оригіналу за 12 грудня 2016. Процитовано 31 січня 2017.

Література

• Inorganic Chemistry / A.F. Holleman, Nils Wiberg, Egon Wiberg. — Academic Press, 2001. — ISBN 0-12-352651-5.
• W. Peterson, A. Holloway, H. Coyle, M. Williams. Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI) // Science. — 1971. — Т. 173, вип. 4003 (3 листопада). — ISSN 0036-8075. — Bibcode:1971Sci...173.1238P. — DOI:10.1126/science.173.4003.1238. — PMID 17775218 .
• Catherine A. Gorini. The Facts on File Geometry Handbook. — New York : Facts On File, Inc, 2003. — ISBN 0-8160-4875-4.
• Norman N. Greenwood, Alan Earnshaw. Chemistry of the Elements (2nd ed.). — Butterworth-Heinemann, 1997. — ISBN 0-08-037941-9.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Antiprism(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Square Antiprism Интерактивная модель
• Virtual Reality Polyhedra Архивная копия от 23 февраля 2008 на Wayback Machine www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra
  • VRML model
  • Conway Notation for Polyhedra Архивная копия от 29 ноября 2014 на Wayback Machine Try: «A4»