Loading AI tools
тривимірне тіло з багатогранників зі спільним центром З Вікіпедії, вільної енциклопедії
З'єднання многогранників — геометричне тіло, складене з деяких многогранників, що мають спільний центр. З'єднання є тривимірним аналогом багатокутних з'єднань, таких як гексаграма.
Зовнішні вершини з'єднання можна з'єднати, утворивши опуклий многогранник, який називають опуклою оболонкою. З'єднання є огрануванням опуклої оболонки.
Усередині з'єднання утворюється менший опуклий многогогранник, спільна частина всіх членів з'єднання. Його називають ядром набору зірчастих многогранників .
Правильне з'єднання многогранників можна визначити як з'єднання, яке, як і в разі правильних многогранників, є вершинно-транзитивним[en], реберно-транзитивним та гране-транзитивним. Існує п'ять правильних з'єднань многогранників.
З'єднання | Малюнок | Сферичне подання | Опукла оболонка | Ядро | Симетрія | Підгрупа для одного складника |
Двоїстий |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Два тетраедри (зірчастий октаедр) | ![]() |
![]() |
Куб | Октаедр | *432 [4,3] O h |
*332 [3,3] T d |
Самодвоїстий |
П'ять тетраедрів | ![]() |
![]() |
Додекаедр | Ікосаедр | 532 [5,3] + I |
332 [3,3] + T |
Енантіоморфнийхіральний двійник |
Десять тетраедрів | ![]() |
![]() |
Додекаедр | Ікосаедр | *532 [5,3] I h |
332 [3,3] T |
Самодвоїстий |
П'ять кубів[en] | ![]() |
![]() |
Додекаедр | Ромботриаконтаедр | *532 [5,3] I h |
3*2 [3,3] T h |
П'ять октаедрів |
П'ять октаедрів[en] | ![]() |
![]() |
Ікосододекаедр | Ікосаедр | *532 [5,3] I h |
3*2 [3,3] T h |
П'ять кубів |
Найвідомішим є з'єднання двох тетраедрів. Кеплер назвав це з'єднання латиною stella octangula (зірчастий октаедр). Вершини двох тетраедрів задають куб, а їх перетин є октаедром, грані якого лежать на тих самих площинах, що й грані складових тетраедрів. Таким чином, з'єднання є зведенням до зірчастої форми октаедра і фактично його єдиним можливим зведенням.
Зірчастий октаедр можна також розглядати як двоїсто-правильне з'єднання.
З'єднання п'яти тетраедрів має дві дзеркальні версії, які разом дають з'єднання десяти тетраедрів. Всі з'єднання тетраедрів самодвоїсті, а з'єднання п'яти кубів двоїсте з'єднанню п'яти октаедрів.
Двоїсте з'єднання — це з'єднання многогранника і двоїстого йому, розташованих взаємно протилежно відносно спільної вписаної або напіввписаної сфери, так що ребро одного многогранника перетинає двоїсте ребро двоїстого многогранника. Існує п'ять таких з'єднань правильних многогранників.
Компоненти | Малюнок | Опукла оболонка | Ядро | Симетрія |
---|---|---|---|---|
Два тетраедри (зірчастий октаедр) |
![]() |
Куб | Октаедр | *432 [4,3] Oh |
Куб і октаедр[en] | ![]() |
Ромбододекаедр | Кубооктаедр | *432 [4,3] Oh |
додекаедр та ікосаедр[en] |
![]() |
Ромботріаконтаедр | Ікосододекаедр | *532 [5,3] Ih |
великий ікосаедр і великий зірчастий додекаедр[en] |
![]() |
Додекаедр | Ікосододекаедр | *532 [5,3] Ih |
малий зірчастий додекаедр і великий додекаедр[en] |
![]() |
Ікосаедр | Додекаедр | *532 [5,3] Ih |
Тетраедр самодвоїстий, отже, двоїсте з'єднання тетраедра з двоїстим йому є також зірчастим октаедром.
Двоїсті з'єднання куб-октаедр та додекаедр-ікосаедр є ззірченнями кубооктаедра та ікосододекаедра відповідно.
З'єднання малого зірчастого додекаедра і великого додекаедра виглядає зовні як той самий малий зірчастий додекаедр, оскільки великий додекаедр міститься повністю всередині нього. Тому зображення малого зірчастого додекаедра, наведене вище, показано у вигляді реберного каркаса.
1976 року Джон Скіллінг (John Skilling) опублікував статтю Однорідні з'єднання однорідних многогранників[1], у якій перерахував 75 з'єднань (серед них 6 нескінченних множин призматичних з'єднань, № 20-25), отриманих з однорідних многогранників за допомогою обертань. (Кожна вершина є вершинно-транзитивною[en].) Список включає п'ять з'єднань правильних многогранників зі списку вище.
Ці 75 однорідних з'єднань наведено в таблиці нижче. У більшості з'єднань різні кольори відповідають різним складникам. Деякі хіральні пари розфарбовано згідно з дзеркальною симетрією.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
З'єднання чотирьох кубів (ліворуч) не є ні правильним, ні двоїстим, ні однорідним з'єднанням. Двоїсте йому з'єднання чотирьох октаедрів (праворуч) однорідне. |
Два многогранники, які є з'єднаннями, але їх елементи строго вкладені в малий складний ікосододекаедр[en] (з'єднання ікосаедра та великого додекаедра) і великий складний ікосододекаедр[en] (з'єднання малого зірчастого додекаедра і великого ікосаедра). Якщо прийняти узагальнене визначення однорідного багатогранника, вони будуть однорідними.
Розділ ентіаноморфних пар у списку Скіллінга не містить з'єднань двох великих кирпатих додекоікосододекаедрів[en], оскільки грані- пентаграми збігаються. Видалення граней, що збігаються, приведе до з'єднання двадцяти октаедрів[en].
У чотиривимірному просторі існує багато правильних з'єднань правильних політопів. Коксетер перерахував деякі з них у своїй книзі Правильні многогранники[en][2].
Самодвоїсті:
З'єднання | Симетрія |
---|---|
120 п'ятикомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
5 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті пари:
З'єднання 1 | З'єднання 2 | Симетрія |
---|---|---|
3 шістнадцятикомірники[3] | 3 тесеракти | [3,4,3], порядок 1152 |
15 шістнадцятикомірників | 15 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
75 шістнадцятикомірників | 75 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
300 шістнадцятикомірників | 300 тесерактів | [5,3,3] +, порядок 7200 |
600 шістнадцятикомірників | 600 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
25 двадцятичотирьохкомірників | 25 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Однорідні з'єднання з опуклими чотиривимірними многогранниками:
З'єднання 1 вершинно-транзитивне[en] |
З'єднання 2 комірково-транзитивне[en] |
Симетрія |
---|---|---|
2 шістнадцятикомірники | 2 тесеракти | [4,3,3], порядок 384 |
100 двадцятичотирьохкомірників | 100 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3] +, порядок 7200 |
200 двадцятичотирьохкомірників | 200 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
5 шестисоткомірників | 5 стодвадцятикомірників | [5,3,3] +, порядок 7200 |
10 шестисоткомірників | 10 стодвадцятикомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті позиції:
З'єднання | Симетрія |
---|---|
2 п'ятикомірники {{3,3,3}} |
[[3,3,3]], порядок 240 |
2 двадцятичотирьохкомірників
{{3,4,3}} |
[[3,4,3]], порядок 2304 |
Самодвоїсті зірчасті з'єднання:
Двоїсті пари з'єднань зірок:
З'єднання 1 | З'єднання 2 | Симетрія |
---|---|---|
5 {3,5,5/2} | 5 {5/2,5,3} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3} | [5,3,3], порядок 14400 |
5 {5,5/2,3} | 5 {3,5/2,5} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
10 {5,5/2,3} | 10 {3,5/2,5} | [5,3,3], порядок 14400 |
5 {5/2,3,5} | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
10 {5/2,3,5} | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], порядок 14400 |
Однорідні з'єднання зірок :
У термінах теорії груп, якщо G — група симетрії з'єднання многогранників і група діє транзитивно на многогранник (так що будь-який многогранник може перейти в будь-якій іншій, як в однорідних з'єднаннях), тоді, якщо H є стабілізатором одного вибраного многогранника, многогранники можна визначити за орбітою G/H.
Існує вісімнадцять двопараметричних сімейств правильних з'єднань мозаїк на евклідовій площині. У гіперболічному просторі відомі п'ять однопараметричних сімейств та сімнадцять ізольованих мозаїк, але список не завершено.
Евклідові та гіперболічні сімейства 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p ціле) аналогічні сферичним зірчастим октаедрам, 2 {3,3}.
Відомим сімейством правильних евклідових з'єднань стільників у просторах розмірності п'ять і вище є нескінченне сімейство гіперкубічних стільників[en], що мають спільні вершини та грані. Таке з'єднання може мати довільне число гіперкубічних стільників.
Існують також двоїсто-правильні з'єднання мозаїк. Простим прикладом є E2-з'єднання шестикутної мозаїки та її двоїстої трикутної. Евклідове з'єднання двох гіперкубічних стільників правильне і двоїсто правильне.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.