Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Дзе́та-фу́нкція Рі́мана визначена за допомогою ряду:
У області , цей ряд збіжний, є аналітичною функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці. У цій області також правильне представлення у вигляді нескінченного добутку (тотожність Ейлера)
де добуток береться по усіх простих числах p. Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.
де — число Бернуллі. Зокрема,
Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа (Роже Апері, 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне ірраціональне.
де — функція Мебіуса
де — число дільників числа
де — число простих дільників числа
де — Гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.
Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у напівплощині
функція має лише прості нулі у від'ємних парних точках: . Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції. Далі при дійсних . Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і мають властивість симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі і лежать у смузі , яка називається критичною смугою. Гіпотеза Рімана полягає у тому, що усі «нетривіальні» нулі дзета-функції розташовані на прямій .
Існує досить велика кількість спеціальних функцій, пов'язаних з дзета-функцією Рімана, які об'єднуються загальною назвою дзета-функції і є її узагальненнями. Наприклад:
Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році Ейлером, який і вказав її розклад у добуток.
Потім ця функція розглядалася Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел.
Проте найбільш глибокі властивості дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Рімана (1876), де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.
Зв'язок між дзета-функцією і простими числами відкрив Ейлер, який довів таку тотожність:
де лівий бік - це ζ(s), а нескінченний добуток праворуч містить усі прості числа:
Обидва боки формули Ейлера збігаються якщо Re(s) > 1. Доведення тотожності Ейлера використовує лише геометричні ряди і основну теорему арифметики. З того, що гармонічний ряд при s = 1 розбіжний, випливає, що формула Ейлера (яка набуває виду ) тягне за собою існування нескінченної кількості простих чисел.[1]
Формулу добутку Ейлера можна використати, щоб обчислити асимптотичну ймовірність того, що s випадково вибраних цілих чисел помножинно взаємно прості. Інтуїтивно, ймовірність того, що будь-яке окремо взяте число ділиться на просте (або будь-яке ціле число), p становить 1/p. Отже, ймовірність, що кожне з s чисел ділиться на це число становить 1/ps, а ймовірність, що хоча б одне ні становить 1 − 1/ps. Тепер, для різних простих чисел, ці події подільності взаємно незалежні, бо кандидати на дільники взаємно прості (число ділиться на взаємно прості дільники n і m тоді і тільки тоді, коли число ділиться на nm, подія, що відбувається з ймовірністю 1/nm). Отже, асимптотична ймовірність того, що s чисел взаємно прості задається через добуток що включає всі прості,
(Щоб довести цей результат формально потрібно більше роботи).[2]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.