Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Геометри́чне мі́сце то́чок (ГМТ) — мовне означення в математиці, вживане для визначення геометричної фігури як множини точок, що володіють деякою властивістю.
До початку 20-го сторіччя геометричну форму (наприклад, криву) не розглядали як нескінчену множину точок; скоріше її розглядали як об'єкт, на якому може бути розташована точка, або на якому ця точка переміщується. Таким чином коло в Евклідовій площині було визначене як геометричне місце точки, яка знаходиться на заданій відстані фіксованої точки, центрі кола. У сучасній математиці подібні поняття частіш повторно формулюються в описанні форми як наборів; наприклад, хтось говорить, що коло — множина точок, які знаходяться на заданій відстані від центра[1]. На відміну від теоретико — множинного уявлення, старе формулювання уникає розглядання нескінченних наборів, оскільки уникання фактичної нескінченності було важливим філософським положенням більш ранніх математиків.[2][3]
Як тільки теорія множин стала універсальним фундаментом,[4][5] на якому була збудована ціла математика, термін геометричного місця точок став досить старомодним. Проте, слово все ще широко використовується, в основному для короткого формулювання, наприклад:
В останній час методи, такі як теорія схем і використання теорії категорії замість теорії множин, для надання основ математики, повернулися до понять більш схожих на оригінальне визначення геометричного місця точок, як самого по собі, ніж як множини точок.[3]
У загальному випадку, геометричне місце точок формулюється параметричним предикатом, аргументом якого є точка даного лінійного простору. Параметри предиката можуть носити різний тип. Предикат називається детермінантою геометричного місця точок. Параметри предиката називаються диференціалами геометричного місця точок (не плутати з диференціалом в аналізі).
Роль диференціалів полягає у введенні видових відмінностей у фігуру. Кількість диференціалів може бути будь-якою; диференціалів може й зовсім не бути.
Якщо задані детермінант , де — точка, — диференціали, то шукану фігуру задають у вигляді: « — геометричне місце точок , таких, що ». Далі звичайно вказується роль диференціалів, їм даються назви щодо даної конкретної фігури. Під власне фігурою розуміють сукупність (множину) точок , для яких для кожного конкретного набору значень висловлювання перетворюється в тотожність. Кожен конкретний набір значень диференціалів визначає окрему фігуру, кожну з яких і всіх їх у сукупності іменують назвою фігури, яка задається через геометричне місце точок.
У словесному формулюванні предикативне висловлювання озвучують літературно, тобто із залученням різного роду зворотів з метою милозвучності. Іноді, у випадку простих детермінантів, взагалі обходяться без буквених позначень.
Приклад: параболу задамо як множину всіх таких точок , що відстань від до точки дорівнює відстані від до прямої . Тоді диференціали параболи — і ; детермінант — предикат , де — відстань між двома точками (метрика), — відстань від точки до прямої. І кажуть: «Парабола — геометричне місце точок , рівновіддалених від точки і прямої . Точку називають фокусом параболи, а пряму — директрисою».
Приклади на геометричній площині включають:
Інші приклади ГМТ з'являються в різноманітних галузях математики. Наприклад, у комплексній динаміці[en], множина Мандельброта є підмножиною комплексної площини, яка може бути охарактеризована як місце точок зв'язності сімейства поліномних карт.
Щоб довести що геометрична фігура — правильне ГМТ для даного набору умов, зазвичай ділять доказ на два етапи:[7]
Знаходимо ГМТ точок P, які мають задане відношення відстаней k = d1/d2 для двох заданих точок.
У цьому прикладі обрано за фіксовані точки k= 3, A(-1,0) and B(0,2).
Це рівняння представляє коло з центром (1/8, 9/4) та радіусом . Це — коло Аполлонія[en] визначене значеннями k, A, B.
У трикутника ABC є фіксована сторона [AB] з довжиною c. Ми визначаємо ГМТ третьої вершини C таким чином, що медіани від A і C ортогональні.
Ми обираємо ортонормовану систему координат, таким чином що A (-c / 2,0), B (c / 2,0). C (x, y) — змінна третя вершина. Центр [BC] є M ((2x + c) / 4, y / 2). У медіани від C має нахил y / x. Медіана AM має нахил 2y / (2x + 3c).
ГМТ може також бути визначено двома пов'язаними кривими в залежності від одного загального параметра. Якщо параметр вар'юється, точки перетину пов'язаних кривих описують ГМТ.
У фігурі, точки K і L — фіксовані точки на даній прямій m. Пряма k є рухомою прямою, яка проходить через K. Пряма l проходить через L перпендикулярно прямій k. Кут між k і m є параметром. K і l — пов'язані прямі в залежності від спільного параметра. Точка S — точка перетину k і l описує коло. Це коло — ГМТ точки перетину двох пов'язаних прямих.
ГМТ точок не повинне бути одновимірним (як коло, пряма тощо). Наприклад,[8] ГМТ нерівності є частиною площини, яка під прямою .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.