Великий додекаедр
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Великий додекаедр [5] :стор.18 ;[2] [6]:стор.443-444 — один з чотирьох правильних зірчастих багатогранників Кеплера — Пуансо.
Великий додекаедр | |
---|---|
Тип | Тіло Кеплера — Пуансо |
Зірчаста форма | Правильного додекаедра |
Властивості | Неопуклий, рівносторонній, правильний зірчастий багатогранник, гране-транзитивний, вершинно-транзитивний. |
Комбінаторика | |
Елементи | 12 граней; 30 ребер; 12 вершин (5-го степеня). |
Грані {p} |
12 прав. п'ятикутників = 12 {5}. |
Характеристика Ейлера |
|
Конфігурація вершини | (5.5.5.5.5)/2 = (55)/2 [1] |
Конфігурація грані | V(5/2)5 |
Вершинна фігура | 12 Правильних пентаграм {5/2} [2] :стор.435 ;[3] , з довжиною сторони |
Щільність[en] | 3 |
Рід | 4 |
Класифікація | |
Позначення |
• W21 (в нотації М. Веннінґера) [4] |
Символ Шлефлі {p, q} | {5, 5/2} |
Діаграма Коксетера — Динкіна | (або x5o5/2o) |
Символ Витгоффа[en] |
5/2 | 2 5 |
Група симетрії |
Ih[en], H3, [5,3], (*532), порядок 120 |
Двоїстий багатогранник | |
Розгортка |
Цей багатогранник було відкрито у 1809 році Луї Пуансо[7] ; [8] :стор.149, а назву йому дав Артур Кейлі в 1859 році. [2] :стор.410
Він складається з 12 граней — правильних п'ятикутників (шість пар п'ятикутних граней лежать в паралельних площинах), по 5 п'ятикутників у кожній вершині, що перетинаються між собою. Має 12 вершин, кожна з яких є вершиною зірчастого п'ятигранного кута .
Його символ Шлефлі — . [2] :стор.410
Має центральну ділянку кожної грані у вигляді п'ятипроменевої зірки (пентаграми), «приховану» всередині багатогранника, при цьому зовні видно тільки ділянки граней у вигляді рівнобедрених трикутників. Частина граней, що знаходиться всередині багатогранника відіграє роль плоскої мембрани та не розмежовує внутрішній простір багатогранника.
Розташування вершин[en] (опукла оболонка) великого додекаедра, а також розташування його ребер таке ж як і у правильного ікосаедра.
Великий додекаедр має повну симетрію правильного ікосаедра, і отже, всі його елементи симетрії, а саме:
1) має 31 вісь обертової симетрії:
‒ 6 осей 5-го порядку — проходять через протилежні вершини;
‒ 10 осей 3-го порядку — проходять через протилежні точки, в яких перетинаються три грані («вістря тригранних виїмок»);
‒ 15 осей 2-го порядку — проходять через середини протилежних паралельних ребер.
2) має 15 площин дзеркальної симетрії, що проходять через вершину та середину протилежного ребра для кожної грані.
3) має центр симетрії.