Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Пучок — абстрактний математичний об'єкт, використання якого забезпечує єдиний підхід для встановлення зв'язків між локальними і глобальними властивостями топологічних просторів (зокрема геометричних об'єктів) і широко використовується в сучасній алгебрі, геометрії, топології і аналізі.
На топологічному просторі X заданий передпучок об'єктів, якщо:
Якщо об'єкти є множинами, то елементи також називаються перетинами пучка над множиною U.
Іншими словами, передпучок — контраваріантний функтор з категорії відкритих підмножин X і їх вкладень в деяку категорію.
Передпучок на X називається пучком (множин, абелевих груп, кілець, модулів над кільцем і т. п.) якщо він задовольняє дві умови
Замітка. Визначення пучка існує і у випадку коли об'єктами категорії не є множини. Проте цей випадок вимагає глибших понять теорії категорій і не часто використовується у застосуваннях.
Одним з найпростіших і найважливіших прикладів є пучок неперервних функцій на топологічному просторі X. Обмеження неперервної функції на відкриту підмножину є неперервною функцією на цій підмножині, і функція, задана частково на відкритих підмножинах, може бути відновлена на їх об'єднанні.
Точніше, для кожної відкритої підмножини U простору X позначимо F(U) множину всіх неперервних дійснозначних функцій . Маючи відкриту множину V, що міститься в U, і функції f з F(U), ми можемо звузити область визначення функції f до множини V і одержати функцію . Обмеження є неперервною функцією на V, отже, воно є елементом множини F(V). Таким чином, визначено відображення обмеження .
Припустимо, що задана узгоджена система неперервних функцій . Це означає, що обмеження функцій fi і fj на множині повинні бути рівними. Визначимо тепер функцію таким чином: оскільки U - об'єднання всіх Ui, кожна точка x з U покрита множиною Ui для деякого i. Визначимо значення функції f в точці x рівним fi(x). Це визначення коректно: якщо x лежить також і в Uj, то по умові узгодженості fi(x)= fj(x), тому все одно, яку з цих функцій користуватися для визначення f(x). При цьому функція f неперервна в точці x, оскільки в її околі Ui вона рівна неперервній функції fi(x). У результаті функція f неперервна в кожній точці з U, тобто неперервна в U. Більш того, f — єдина неперервна функція, обмеження якої на області Ui рівне fi, оскільки функція повністю визначається своїми значеннями в точках.
Насправді, одержаний пучок є не просто пучком множин. Оскільки неперервні функції можна поточково додавати і одержувати знову неперервні функції, цей пучок також є пучком абелевих груп. Оскільки їх також можна перемножувати, цей пучок є пучком комутативних кілець. Оскільки неперервні функції на множині утворюють векторний простір над , то цей пучок — пучок алгебр над .
Нехай X є топологічним простором і — деякою його точкою. Нехай також на цьому просторі задано передпучок об'єкти якого є множинами можливо із додатковою структурою (наприклад абелеві групи, кільця). Шар пучка у точці дозволяє вивчити властивості пучка в околі цієї точки.
Формально:
де пряма границя береться по усіх відкритих підмножинах простору які місять точку . Множина таких відкритих підмножин є спрямованою щодо включення множин і верхньою межею двох множин є їх перетин.
Із означення прямої границі можна більш детально записати: шаром є фактор-множина множини усіх де є відкритою множиною, що містить а і дві пари і є еквівалентними якщо існує відкритий окіл точки для якого
Якщо об'єкти передпучка мають додаткову структуру, то таку структуру можна задати і на всіх шарах передпучка. Наприклад у випадку абелевих груп сума двох елементів і шару задається як Із цією операцією теж є абелевою групою.
Для елемент шару часто також позначається У випадку пучків якщо то тоді і тільки тоді коли для всіх точок Для передпучків таке твердження є неправдивим.
Аналогічно поняття шару можна ввести для передпучків із значеннями у довільній категорії у якій існують прямі границі. Як і вище шаром у точці буде пряма границя щодо спрямованої множини відкритих підмножин, що містять .
Альтернативно означення пучка над топологічним простором можна дати за допомогою деякого топологічного простору (простору пучка чи етального простору від французького espace étalé) і відображення із цього простору на , що є локальним гомеоморфізмом. Історично таке означення з'явилося давніше, ніж означення на початку статті. Для етального простору відповідний пучок одержується як множина локальних перетинів, тобто для за означенням є множиною усіх неперервних відображень із у відповідний простір, що є правими оберненими до відповідного локального гомеоморфізму.
Для довільного пучка і навіть передпучка можна побудувати відповідний етальний простір. Нехай є передпучком множин над топологічним простором . Як множина відповідний етальний простір є диз'юнктним об'єднанням усіх шарів передпучка: . Якщо є деякою довільною точкою простору, то для деякого і тоді можна задати відображення для якого Згідно означення
На множині можна задати топологію за допомогою бази елементами якої є множини виду де є відкритою множиною, і Ці множини утворюють базу топології оскільки якщо то за означенням для і тому існує відкрита множина для якої і тоді .
Для топології породженої цією базою відображення є локальним гомеоморфізмом. Усі відображення виду для відкритих множин і елементів є неперервними. Також для таких відображень для всіх тобто усі є локальними перетинами.
Враховуючи ці властивості можна навпаки для топологічного простору дати означення простору пучка (або етального простору) як топологічного простору для якого існує сюр'єктивне відображення що є локальним гомеоморфізмом. При такому означенні відображення є відкритим. Якщо позначити множину всіх перетинів, тобто неперервних відображень для яких є тотожним відображенням, то із відповідними обмеженнями на відкриті підмножини одержується пучок Для довільного перерізу образ буде відкритою множиною і всі такі множини для різних і утворюють базу топології простору . Для довільної точки шар пучка є ізоморфним множині простору .
Таким чином для довільного передпучка множин одержується відповідний етальний простір і навпаки для кожного етального простору одержується пучок. При цьому виконуються влістивості
Для того щоб розглядати пучки із додатковими алгебричними структурами вимагається неперервність відповідних алгебричних операцій. Наприклад для абелевих груп при означені абстрактного етального простору додається вимога щоб на усіх шарах була задана структура абелевої групи і відповідна операція додавання була неперервною. Тобто, якщо позначити то відображення має бути неперервним відображенням із у
Для етального простору із такими умовами відповідний пучок буде мати відповідну структуру (наприклад абелевих груп). Навпаки якщо на шарах етального простору породженого передпучком ввести структуру шарів передпучка то у вказаній топологіє алгебричні операції будуть неперервними.
Нехай є сталим передпучком над топологічним простором де всі є рівні деякій множині . Оскільки всі шари цього передпучка теж є рівними , то як множина етальний простір є рівним добутку множин і відображення є проекцією на перший множник. Оскільки для всіх відкритих множин і множини є елементами бази топології то сам простір із цією топологією є добутком топологічних просторів і із дискретною топологією.
Якщо є передпучком на топологічному просторі , для нього існує тісно пов'язаний пучок над тим же простором, що називається пучком породженим передпучком (або асоційованим із передпучком, в англійській мові використовується також термін sheafification). Його означення можна дати кількома пособами:
Оскільки пучки містять дані, співвіднесені кожній відкритій підмножині простору X, морфізм пучків визначається як набір відображень, для кожної відкритої множини, що задовольняє деяким умовам узгодженості. У цьому розділі всі пучки визначені над простором X і приймають значення у фіксованій категорії C (коли мова піде про ядро і коядро морфізмів, передбачається, що C — абелева категорія). Для найважливіших застосувань C є категорією множин із додатковою структурою, зокрема абелевою групою для поняття ядра і коядра.
Нехай і — два передпучки над деяким топологічним простором. Морфізм C-передпучків на X зіставляє кожній відкритій множині U простору X морфізм так що всі ці морфізми узгоджуються один з одним і відображеннями обмеження в обох передпучках. Іншими словами, для кожної відкритої підмножини U і відкритої множини V має місце комутативна діаграма:
Для випадку якщо C є категорією множин,можливо із деякою додатковою структурою то умова узгодженості означає, що кожному перетину s пучка F над відкритою множиною U зіставлено деякий перетин над U пучка G і їх обмеження на відкриту підмножину V множини U пов'язані морфізмом . (Обмеження на V -образа перерізу s рівне -образу його обмеження на V.)
Якщо і є пучками то відповідний морфізм передпучків називається морфізмом пучків на X.
Для морфізм передпучків чи пучків і задає індукований морфізм шарів і . У випадку передпучків множин, якщо то для деякої відкритої множини і елемента За означенням де і позначає елемент , що ним визначається. Із узгодженості морфізму передпучків із відображеннями обмеження випливає незалежність визначення морфізму на шарах від вибору представлення елемента Більш загально відображення на шарах можна розглядати для передпучків у більш широких класах категорій за допомогою прямих границь: для морфізма індукований морфізм задається як
Якщо і є двома етальними просторами і і є відповідними локальними гомеоморфізмами, то неперервне відображення називається морфізмом етальних просторів якщо Морфізм етальних просторів є локальним гомеоморфізмом.
Якщо позначити і — відповдні пучки перетинів, то із морфізму одержується морфізм пучків А саме, якщо є деяким перетином над відкритою множиною (і відповідно елементом ), то відображення є перетином над відкритою множиною (і відповідно елементом ). Одержані таким чином відображення узгоджуються із відображеннями обмеження і в сукупності задають морфізм пучків .
Навпаки якщо і є довільними пучками множин, — морфізм між ними, а і — відповідні етальні простори то довільний елемент деякого шару: для деякого і тоді можна задати відображення , де є морфізмом на шарах індукованим морфізмом пучків. Задане таким чином відображення є морфізмом етальних просторів.
В обох випадках одиничні морфізми переводяться в одиничні морфізми і композиція морфізмів у композицію відповідних морфізмів. Таким чином одержуються функтор із категорії етальних просторів над простором X у категорію пучків над цим простором і обернений до нього функтор із категорії пучків над простором X у категорію етальних просторів над цим простором. Таким чином категорії пучків над простором X і етальних просторів над простором X є еквівалентними.
Якщо розглядаються пучки у абелевій категорії (на практиці переважно абелеві групи, можливо із додатковою структурою, наприклад модулі над деяким кільцем) то для морфізма визначені поняття ядра, коядра і пов'язані поняття.
Нехай і є передпучками абелевих груп і — морфізм між ними. Для кожної відкритої множини згідно означення є гомоморфізмом абелевих груп і тому можна визначити ядро
Якщо і то тому усі разом із відповідними відображеннями обмеження утворюють передпучок, який називається ядром морфізму Якщо і є пучками то і ядро довільного морфізму пучків між ними є пучком.
Морфізм передпучків називається мономорфізмом якщо він задовольняє одну із еквіваленних умов:
Для мономорфізма всі індуковані гомоморфізми на шарах теж є ін'єктивними і для монопередпучків (зокрема для пучків) ця умова є еквівалентною означенню мономорфізму.
Поняття мономорфізму має зміст і для пучків множин якщо вимагати щоб усі були ін'єктивними відображеннями. Для пучків із довільної абелевої категорії теж можна ввести поняття ядра розглядаючи теоретико категорні означення ядра морфізмів і морфізми обмежень.
Нехай і є передпучками абелевих груп і — морфізм між ними. Для кожної відкритої множини згідно означення є гомоморфізмом абелевих груп і тому можна визначити образ і коядро .
Якщо і то тобто обмеження елемента є елементом . Як наслідок також для коядер обмеження елемента є елементом . Тому усі разом із відповідними відображеннями обмеження утворюють передпучок, який називається образом морфізму а усі разом із відповідними відображеннями обмеження утворюють передпучок, який називається коядром морфізму
Проте якщо і є пучками то для морфізму пучків між ними визначені вище образ і коядро у загальному випадку є лише передпучками. І цьому випадку образом і коядром морфізму пучків азиваються пучки породжені відповідними передпучками.
Морфізм передпучків називається епіморфізмом якщо він задовольняє одну із еквіваленних умов:
У випадку пучків морфізм пучків є епіморфізмом якщо він задовольняє одну із еквіваленних умов:
Поняття епіморфізму має зміст і для передпучків і пучків множин якщо вимагати щоб усі (відповідно ) були сюр'єктивними відображеннями. Для пучків із довільної абелевої категорії теж можна ввести поняття коядра розглядаючи теоретико категорні означення образу і коядра морфізмів і морфізми обмежень.
Далі пучки приймають значення у фіксованій категорії C, але можуть бути визначені над різними просторами.
Нехай X і Y — топологічні простори із заданими на них пучками OX і OY відповідно. Морфізм пари (X, OX) в (Y, OY) задається за допомогою наступних даних:
Це визначення годиться і для визначення морфізму передпучків над різними просторами.
Якщо X і Y — топологічні простори, — неперервне відображення між ними, а — передпучок на . Для кожної відкритої множини прообраз є відкритою підмножиною X і тому визначено . Тому можна задати
Для обмеження із на природно одержується із обмеження на . Тоді є передпучком який називається прямим образом передпучка . Якщо є пучком, то і є пучком.
Якщо є морфізмом (перед)пучків на топологічному просторі X, то для можна задати морфізми Тоді є морфізмом (перед)пучків на топологічному просторі Y, що називається прямим образом морфізму Прямі образи (перед)пучків і морфізмів між ними задають функтор із категорії (перед)пучків на X у категорію (перед)пучків на Y.
Якщо X і Y — топологічні простори, — неперервне відображення між ними, а — передпучок на можна задати пучок на просторі , який називається оберненим образом передпучка .
Найпростіше означення оберненого образу можна дати за допомогою етального простору передпучка. Якщо є таким простором із відповідною проекцією, то із топологією індукованою топологією прямого добутку і проекцією на другий множник є етальним простором і відповідний йому пучок і називається оберненим образом передпучка .
Еквівалентно є пучком асоційованим із передпучком
де — відкрита підмножина і індуктивна границя береться по всіх відкритих підмножини простору , що містять .
є спряженим зліва до функтора прямого образа , тобто існує натуральний ізоморфізм
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.