Стала функція

У математиці стала функція — це функція, у якої вихідне значення є однаковим для кожного вхідного значення.^[1][2][3] Наприклад, функція ${\displaystyle y(x)=4}$ є сталою функцією, тому що значення ${\displaystyle y(x)}$ дорівнює 4 незалежно від вхідного значення ${\displaystyle x}$ (див. зображення).

Стала функція y = 4.

Основні властивості

Як дійсна функція дійсної змінної, стала функція має загальну форму ${\displaystyle y(x)=c}$ або просто ${\displaystyle y=c}$.

Приклад: Функція ${\displaystyle y(x)=2}$ або просто ${\displaystyle y=2}$ є конкретною сталою функцією, у якої вихідним значенням є ${\displaystyle c=2}$. Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел ℝ. Область значень цієї функції — тільки {2}. Незалежна змінна x не з'являється у правій частині виразу функції, і тому її значення є «по різному підставляється». А саме y(0)=2, y(−2.7)=2, y(π)=2,… . Незалежно від того, яке значення x є на вході, вихідним буде «2».

Приклад з реального життя: Магазин, у якому кожен предмет продається за ціною 3 гривні.

Графік сталої функції ${\displaystyle y=c}$ — горизонтальна лінія на площині, яка проходить через точку ${\displaystyle (0,c)}$.^[4]

Як многочлен від одної змінної x, ненульова стала функція є поліномом степеня 0 і її загальна форма ${\displaystyle f(x)=c,c\neq 0}$. Ця функція не має точки перетину з віссю x (віссю абсцис), тобто не має кореня (нуля). З іншого боку, поліном ${\displaystyle f(x)=0}$ є тотожно нульовою функцією. Це (тривіальна) стала функція, і кожен x є коренем. Її графік — це вісь x на площині.^[5]

Стала функція є парною функцією, тобто графік сталої функції симетричний відносно осі y.

У контексті, де вона визначена, похідна функції є мірою швидкості зміни значень функцій щодо зміни вхідних значень. Оскільки стала функція не змінюється, її похідна дорівнює 0.^[6] Часто це пишеться: ${\displaystyle (c)'=0}$. Зворотне також вірно. А саме, якщо y'(x)=0 для всіх дійсних чисел x, то y(x) є сталою функцією.^[7]

Приклад: Дано сталу функцію ${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}$. Похідна від y — тотожно нульова функція ${\displaystyle y\,'(x)=(-{\sqrt {2}})'=0}$.

Інші властивості

Для функцій між попередньо впорядкованими множинами, сталі функції є такими, що зберігають порядок і роблять зворотний порядок; і навпаки, якщо f одночасно зберігає порядок і змінює порядок на обернений, і якщо область f — решітка, то f повинна бути сталою.

• Кожна стала функція, у якої область визначення і область значень є однакові, є ідемпотентною.
• Кожна стала функція між топологічними просторами є неперервною.
• Стала функція проходить через одноточкову множину, термінальний об'єкт у категорії множин. Це спостереження є визначальним для аксіоматизації теорії множин Ф. Вільяма Ловера^[en], елементарної теорії категорії множин (ETCS).^[8]
• Кожна множина X ізоморфна множині сталих функцій у ній. Для кожного елемента x і будь-якої множини Y існує унікальна функція ${\displaystyle {\tilde {x}}:Y\rightarrow X}$ така, що ${\displaystyle {\tilde {x}}(y)=x}$ для всіх ${\displaystyle y\in Y}$. І навпаки, якщо функція ${\displaystyle f:Y\rightarrow X}$ задовольняє ${\displaystyle f(y)=f(y')}$ для всіх ${\displaystyle y,y'\in Y}$, ${\displaystyle f}$ за визначенням є сталою функцією.
  • Як наслідок, одноточкова множина є генератором^[en] в категорії множин.
  • Кожна множина ${\displaystyle X}$ канонічно ізоморфна множині функцій ${\displaystyle X^{1}}$, або множині Hom ${\displaystyle \operatorname {hom} (1,X)}$ у категорії множин, де 1 — це одноточкова множина. Через це і через приєднання між декартовими добутками і hom в категорії множин (тому існує канонічний ізоморфізм між функціями двох змінних і функціями однієї змінної, що оцінюється в функціях іншої (єдиної) змінної, ${\displaystyle \operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))}$) категорія множин є замкнутою моноїдною категорією^[en] з декартовим добутком множин як тензорним добутком і одноточковою множиною як тензорною одиницею. В ізоморфізмах ${\displaystyle \lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho }$ натуральних в X, ліві та праві одиниці являють собою проєкції ${\displaystyle p_{1}}$ і ${\displaystyle p_{2}}$ впорядкованих пар ${\displaystyle (*,x)}$ і ${\displaystyle (x,*)}$ відповідно до елемента ${\displaystyle x}$, де ${\displaystyle *}$ є унікальною точкою в одноточковій множині.

Функція на зв'язаній множині є локально стала^[en] тоді і тільки тоді, коли вона стала.

Примітки

1. Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. с. 94. ISBN 0-8160-5124-0.
2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function (PDF). Addison-Wesley. с. 175. Процитовано 12 січня 2014.
3. Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. с. 313. ISBN 0-8493-9640-9.
4. Dawkins, Paul (2007). College Algebra. Lamar University. с. 224. Процитовано 12 січня 2014.
5. Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). 1. Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (вид. 1). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. с. 22. ISBN 978-0078682278.
6. Dawkins, Paul (2007). Derivative Proofs. Lamar University. Процитовано 12 січня 2014.
7. Zero Derivative implies Constant Function. Архів оригіналу за 12 січня 2014. Процитовано 12 січня 2014. [Архівовано 2014-01-12 у Wayback Machine.]
8. Leinster, Tom (27 червня 2011). An informal introduction to topos theory. arXiv:1012.5647 [math.CT].

• Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).

Посилання

• Weisstein, Eric W. Constant Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Constant function на PlanetMath