Експонента матриці — матрична функція від квадратної матриці, що має багато властивостей аналогічних звичайній експоненційній функції дійсних чи комплексних чисел. Матрична експонента встановлює зв'язок між алгеброю Лі матриць і відповідною групою Лі.
Для дійсної або комплексної матриці розміру експонента від , що позначається як або — матриця розміру , визначена за допомогою ряду:
- ,
де — k-а степінь матриці .
Даний ряд завжди збігається абсолютно. Якщо , де взято матричну норму узгоджену з векторною (для скінченновимірних просторів усі норми еквівалентні), то .
Звідси , що доводить абсолютну збіжність ряду і коректність визначення.
Якщо — матриця розміру , то матрична експонента від є матриця розмірності , єдиний елемент якої дорівнює звичайній експоненті від єдиного елемента .
Еквівалентне визначення
Експоненційну функцію можна також визначити наступною рівністю.
де — одинична матриця відповідної розмірності.
Ця рівність є аналогічною до рівності що виконується для дійсних і комплексних чисел.
Для доведення рівності використовується формула де a може бути як числом, так і матрицею.
Тоді якщо для тої ж норми, що й вище то:
при що й доводить твердження.
Основні властивості
Для комплексних матриць і розміру , довільних комплексних чисел і , одиничної матриці і нульової матриці , експонента має наступні властивості:
- ;
- Матриці і комутують, тобто Це легко виводиться з визначення експоненти, як суми збіжного ряду, кожен доданок якого очевидно комутує з .
- ;
- ;
- Якщо , то ;
- Якщо — невироджена матриця, то .
- , де позначає транспоновану матрицю до , це означає, що якщо є симетричною, то теж симетрична, а якщо — кососиметрична матриця, то — ортогональна;
- , де позначає ермітово-спряжену матрицю для , це означає, що якщо — ермітова матриця, то теж ермітова, а якщо — антиермітова матриця, то — унітарна.
- де — визначник, а — слід матриці.
Експонента суми
Для будь-яких двох дійсних чисел (скалярів) і експоненціальна функція задовольняє рівнянню , це ж властивість має місце для симетричних матриць — якщо матриці і комутують (тобто ), то . Однак, для некомутативних матриць ця рівність виконується не завжди, в загальному випадку для обчислення використовується формула Бейкера — Кемпбелла — Хаусдорфа[en].
У загальному випадку з рівності не випливає, що і комутують.
Для ермітових матриць існує дві прості теореми, пов'язані з слідом експонент матриць.
Теорема Ліба
Теорема Ліба, названа ім'ям Еліота Ліба, стверджує, що для фіксованої ермітової матриці , функція:
є увігнутою на конусі додатноозначених матриць [2].
Експонента матриці завжди є невиродженою матрицею. Обернена до матриця рівна , це аналог того факту, що експонента від комплексного числа ніколи не дорівнює нулю. Таким чином, матрична експонента визначає відображення:
з простору всіх матриць розмірності на загальну лінійну групу порядку , тобто групу всіх невироджених матриць розмірності . Це відображення є сюр'єкцією, тобто кожна невироджена матриця може бути записана як експонента від деякої іншої матриці (щоб це твердження було справедливим необхідно розглядати поле комплексних чисел , а не дійсних чисел ).
Для будь-яких двох матриць і має місце нерівність
- ,
де позначає довільну матричну норму. Звідси випливає, що експоненціальне відображення є неперервним і ліпшицевим на компактних підмножинах .
Загалом експоненційне відображення не є ін'єктивним. Але воно буде ін'єктивним, наприклад на підмножині де — множина матриць норма яких (узгоджена з векторною нормою) менша ніж ln 2. На цій множині експоненційна функція є дифеоморфізмом і обернена функція може бути подана, як сума збіжного ряду:
Диференціювання
Відображення:
визначає гладку криву в загальній лінійній групі, яка проходить через одиничний елемент при .
Похідна цього відображення визначається формулою:
Справді з визначень похідної і властивостей експоненти одержується послідовність рівностей:
Більш загально для матриці X(t) залежної від параметра t справедливою є рівність[3]:
де — лінійне відображення визначене для довільної матриці
У попередній формулі для виразу в правій частині справедлива формула:
Взявши в формулі для диференціювання отримуємо формулу для диференціала експоненційного відображення в точці
При ця рівність спрощується до
Одна з причин, які зумовлюють важливість матричної експоненти, полягає в тому, що вона може бути використана для розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь [4]. Розв'язок системи:
- ,
де — стала матриця, дається виразом:
Матрична експонента може бути також використана для розв'язування неоднорідних рівнянь виду
- .
Не існує замкнутого аналітичного виразу для рішень неоднорідних диференціальних рівнянь виду
- ,
де — матриця елементи якої не є константами, але Розклад Магнуса[en] дозволяє отримати подання розв'язку у вигляді нескінченної суми.
Приклад однорідної системи
Для системи:
матриця рівна:
Можна показати, що експонента від матриці є
таким чином, загальним розв'язком цієї системи рівнянь є:
Узагальнення: варіація довільної сталої
У разі неоднорідної системи можна використовувати метод варіації довільної сталої. Шукається частковий розв'язок у вигляді:
:
Щоб була розв'язком, має виконуватися наступне:
Таким чином:
де визначається з початкових умов задачі.
Bhatia, R. (+1997). Matrix Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Т. 169. Springer. ISBN 978-0-387-94846-1.
Rossman, Wulf (2002). Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups (англ) . Oxford Science Publications. с. 15—16.
- Baker, Andrew J. (2003), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3
- Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9