Ермітова матриця

Квадратна матриця ${\displaystyle \ A}$ з комплексними елементами називається ермітовою (на честь Шарля Ерміта) чи само-спряженою, якщо вона дорівнює своїй ермітово-спряженій матриці, тобто

${\displaystyle \ A=A^{*}}$     (у фізичній нотації: ${\displaystyle \ A=A^{\dagger }}$).

Це еквівалентно до системи рівнянь ${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$ для елементів матриці ${\displaystyle \ A.}$

Властивості

• Ермітова матриця є частковим випадком нормальної матриці.
• Діагональні елементи ермітової матриці є дійсними числами.
• Визначник ермітової матриці — дійсне число.
• Власні значення ермітової матриці є дійсними числами.
• Обернена матриця до ермітової, якщо існує, то є ермітовою матрицею.
• Сума ермітових матриць є ермітовою матрицею.
• Добуток ермітових матриць A і B є ермітовою матрицею тоді і тільки тоді, коли вони є переставними ( ${\displaystyle AB=BA}$ ).
• Матриця ермітова оператора в ермітовому просторі відносно будь-якого ортонормального базису є ермітовою.
• Жорданова форма ермітової матриці діагональна.

Часткові випадки

Частковими випадками ермітових матриць є:

• додатньоозначені матриці — у них всі власні значення додатні;
• невід'ємноозначені матриці — у них всі власні значення невід'ємні;
• від'ємноозначені матриці — у них всі власні значення від'ємні.

Зв'язок з комплексними числами

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та антиермітової матриць:

${\displaystyle A=H_{1}+iH_{2},\qquad H_{1}={\frac {A+A^{*}}{2}},\quad H_{2}={\frac {A-A^{*}}{2i}},}$

де:

${\displaystyle \ H_{1}^{*}=H_{1},\;H_{2}^{*}=H_{2}}$    — ермітові матриці,

${\displaystyle \ {(iH_{2})}^{*}=-(iH_{2})}$    — антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця ${\displaystyle \ A}$ є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці ${\displaystyle \ H_{1},H_{2}}$ переставні:

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\;\iff \;H_{1}H_{2}=H_{2}H_{1}.}$

Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.

Отже, якщо розглядати нормальні матриці як узагальнення комплексних чисел, то:

• ермітові матриці в такому випадку відіграватимуть роль дійсних чисел;
• антиермітові — чисто уявних комплексних чисел;
• і вищенаведені часткові випадки ермітових матриць будуть аналогом додатних, невід'ємних і від'ємних дійсних чисел.

Приклад

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2-3i\\2+3i&4\end{bmatrix}}}$ — ермітова матриця ${\displaystyle 2\times 2}$ тому, що

${\displaystyle A^{*}={\begin{bmatrix}1&2-3i\\2+3i&4\end{bmatrix}}=A,}$

або ${\displaystyle 1={\bar {1}},\quad 4={\bar {4}},\quad 2-3i={\overline {2+3i}}.}$

Див. також

• Теорія матриць
• Нормальна матриця
• Додатноозначена матриця
• Ермітова нормальна форма
• Відношення Релея

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)