Косоермітова матриця

Квадратна матриця ${\displaystyle \ A}$ з комплексними елементами називається косоермітовою чи анти-ермітовою (на честь Шарля Ерміта) , якщо вона протилежна до своєї ермітово-спряженої матриці, тобто

${\displaystyle \ A^{*}=-A}$

Тобто, ${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$ для всіх елементів матриці ${\displaystyle \ A.}$

Приклад

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{pmatrix}}}$

Властивості

• Косоермітова матриця є частковим випадком нормальних матриць.
• Діагональні елементи косоермітової матриці є уявними числами.
• Визначник косоермітової матриці — уявне число.
• Власні значення косоермітової матриці є уявними числами.
• Сума косоермітових матриць є косоермітовою матрицею.
• Обернена матриця до косоермітової, якщо існує, то є косоермітовою матрицею.

Зв'язок з комплексними числами

Довільну квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової та косоермітової матриць:

${\displaystyle A=H_{1}+iH_{2},\qquad H_{1}={\frac {A+A^{*}}{2}},\quad H_{2}={\frac {A-A^{*}}{2i}},}$

де:

${\displaystyle \ H_{1}^{*}=H_{1},\;H_{2}^{*}=H_{2}}$    — ермітові матриці,

${\displaystyle \ {(iH_{2})}^{*}=-(iH_{2})}$    — антиермітова матриця.

Також справедливо, що матриця ${\displaystyle \ A}$ є нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці ${\displaystyle \ H_{1},H_{2}}$ переставні:

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\;\iff \;H_{1}H_{2}=H_{2}H_{1}.}$

Вищенаведена властивість вводить аналогію між комплексними числами та нормальними матрицями.

Дивись також

• Теорія матриць
• Ермітова матриця
• Кососиметрична матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)