Алгебрична крива
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Алгебричні криві — це найпростіші об'єкти евклідової геометрії, для визначення яких недостатньо лінійних рівнянь. Зокрема, в евклідовій геометрії плоска алгебрична крива визначається як множина нулів многочлена від двох змінних. Наприклад, одиничне коло — це алгебрична крива, оскільки вона задається рівнянням x2 +y2-1 = 0.[1]
За багатьма технічними причинами зручно також розглядати комплексні корені відповідного многочлена, а також узагальнити визначення на випадок довільного поля.
В алгебричній геометрії, плоска афінна алгебрична крива над полем k визначається як множина точок K2, які є коренями многочлена від двох змінних з коефіцієнтами в k, де K — алгебричне замикання поля k. Точки цієї кривої, всі координати яких лежать в k, називаються k-точками. Наприклад, точка належить розглянутому вище одиничному колу, однак не належить його дійсній частині. Многочлен x2 +y2 + 1 задає алгебричну криву, дійсна частина якої порожня.
Більш загально, можна розглядати алгебричні криві, що містяться не в площині, а в просторі з довільною розмірністю або в проєктивному просторі. Виявляється, що багато властивостей алгебричної кривої не залежить від вибору конкретного вкладення в деякий простір, і це призводить до загального визначення алгебричної кривої:
Алгебрична крива — це алгебричний многовид розмірності 1. Це визначення можна переформулювати так: алгебрична крива — це алгебричний многовид, всі підмноговиди якого складаються з однієї точки.