முக்கோணவியல் சார்புகள்

கணிதத்தில், முக்கோணவியல் சார்புகள் (trigonometric functions) என்பவை கோணங்களின் சார்புகள் ஆகும். இவை வட்டச் சார்புகள் (circular functions) எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. இவை ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களையும் பக்கங்களையும் தொடர்புபடுத்துகின்றன. ஆறு அடிப்படை முக்கோணவியல் சார்புகள் உள்ளன. இவற்றுள் முக்கியமான மூன்று சார்புகள்: Sine, காஸ் என அழைக்கப்படும் Cosine மற்றும் டேன் என அழைக்கப்படும் Tangent. முக்கோணவியல் சார்புகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் அல்லது ஓரலகு வட்டத்தின் வாயிலாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. மேலும் இவற்றை முடிவிலாத் தொடர்களாகவும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாகவும் விவரிக்கலாம்.

முக்கோணவியல் சார்புகள், முக்கோணங்களின் (பெரும்பாலும் செங்கோண முக்கோணங்கள்) தரப்படாத கோணங்கள் மற்றும் பக்கங்களின் அளவுகளைக் கணக்கிடப் பயன்படுகின்றன. கடல்வழிப்பயண வழிகாட்டல், பொறியியல் மற்றும் இயற்பியலில் இவற்றுக்கு முக்கிய பயன்பாடு உள்ளது. இயற்பியலில் ஒரு வெக்டரை இரு கார்ட்டீசியன் அச்சுத்திசைகளில் பிரிப்பதற்கு இவை பயன்படுகின்றன. ஒலி மற்றும் ஒளி அலைகள், பகலின் நீளம், ஒரு வருடத்தின் சராசரி வெப்ப அளவு போன்ற காலமுறைச் சார்புகளின் தோற்றப்பாடுகளைப் பற்றி அறிந்து கொள்ள சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வரையறை-செங்கோண முக்கோணத்தில்

செங்கோண முக்கோணம்.

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்தபக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையிலிருந்து, ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களுக்கும் கோண அளவுகளுக்கும் தொடர்பு இருக்கும் என்ற கருத்து அறியப்படுகிறது. இரு செங்கோண முக்கோணங்களில் ஒன்றின் செம்பக்கம் மற்றதன் செம்பக்க நீளத்தைப் போல இருமடங்கு எனில் மற்ற பக்கங்களும் அவ்வாறே அமையும். இந்த பக்க விகிதங்களைத்தான் முக்கோணவியல் சார்புகள் தருகின்றன.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணம் A -ன் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைப் பின்வருமாறு அழைக்கலாம்:

• செம்பக்கம் (அல்லது கர்ணம்) (hypotenuse):

செங்கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கம். இதன் அளவு  h. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கம்தான் மூன்று பக்கங்களிலும் நீளமானது.

• எதிர்ப்பக்கம் (opposite):

நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் A -க்கு எதிரில் அமையும் பக்கம். இதன் நீளம்  a.

• அடுத்துள்ள பக்கம் (adjacent):

செங்கோணம் மற்றும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் இரண்டிற்கும் ( A மற்றும் C) பொதுவான பக்கம். இதன் நீளம்  b.

சார்பு	சுருக்கம்	வரையறை	முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள்(ரேடியன்களில்)
சைன்(sine)	sin	எதிர்ப்பக்கம் / செம்பக்கம்	${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}}$
கோசைன்(cosine)	cos	அடுத்துள்ளபக்கம் / செம்பக்கம்	${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,}$
டேன்ஜெண்ட்(Tangent)	tan (or tg)	எதிர்ப்பக்கம் / அடுத்துள்ளபக்கம்	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}}$
கோடேன்ஜெண்ட்(Cotangent)	cot (or ctg or ctn)	அடுத்துள்ளபக்கம் / எதிர்ப்பக்கம்	${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}}$
சீக்கெண்ட்(Secant)	sec	செம்பக்கம் / அடுத்துள்ளபக்கம்	${\displaystyle \sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}}$
கோசீக்கெண்ட்(Cosecant)	csc (or cosec)	செம்பக்கம் / எதிர்ப்பக்கம்	${\displaystyle \csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}}$

(மேற்புறம்): நான்கு காற்பகுதிகளில் அமையும் θ, π − θ, π + θ மற்றும் 2π − θ கோணங்களுக்கு சைன் சார்பு.(கீழே): சைன் சார்பின் வரைபடம்.

யூக்ளிடின் வடிவவியலில், முக்கோணத்தின் அடிப்படைப் பண்பின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உட்கோண அளவுகளின் கூடுதல் 180° (π ரேடியன்). எனவே ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், செங்கோணமல்லாத மற்ற இரு கோணங்களின் கூடுதல் 90° (π/2 ரேடியன்). இவ்விரு கோணங்களின் அளவுகள் (0°,90°) இடைவெளியில் அமையும். கீழே தரப்பட்டுள்ள வரையறைகள் (0°, -90°) இடைவெளியில் அமையும் கோணங்களுக்கும் பொருந்தும். ஓரலகு வட்டத்தின் வாயிலாக அல்லது குறிப்பிட்ட சமச்சீர்த்தன்மை காரணமாக சார்புகள் காலமுறைச் சார்புகளாக இருக்கும்போது, இந்த வரையறைகளை முழு மெய்க்கோண அளவுகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக:

படத்தில் sin θ -ன் மதிப்பு, θ, π − θ, π + θ மற்றும் 2π − θ ஆகிய கோணங்களுக்கு, படத்தின் மேற்புறத்தில் ஓரலகு வட்டத்திலும் கீழ்ப்புறம் வரைபடத்திலும் காட்டப்பட்டுள்ளது.

சைன் சார்பின் மதிப்பு நான்கு காற்பகுதிகளிலும் மீண்டும் மீண்டும் ஒரே மதிப்பைக் (குறி நீங்கலாக) கொண்டுள்ளது. சுழற்சிகளின் மூலம் θ -ன் மதிப்பு நீட்டிக்கப்பட்டால், கால அளவு  2π கொண்டு சைன் சார்புக்கு இதே மதிப்புகள் அமையும்.

சைன், கொசைன், டேன்ஜெண்ட்

ஓரலகு வட்டத்தில் சைன், டேன்ஜெண்ட், சீக்கெண்ட் சார்புகளின் வடிவியல் தோற்றம்

ஓரலகு வட்டத்தில் கொசைன், கோடேன்ஜெண்ட், கொசீக்கெண்ட் சார்புகளின் வடிவியல் தோற்றம்

• சைன்:

செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் சைன் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மற்றும் செம்பக்கத்தின் விகிதமாகும்.சைன் என்ற பெயர் விரிகுடா என்ற பொருளுடைய சைனஸ் (sinus) எனும் இலத்தீன் வார்த்தையிலிருந்து தோன்றியது.^[1],

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}.}$

ஒரு செங்கோண முக்கோணம் A கோணத்தைக் கொண்டதாய் அமைந்தால் போதும், அம்முக்கோணத்தின் அளவினை இவ்விகிதம் சார்ந்திருப்பதில்லை. ஏனென்றால் அவ்வாறு அமையும் செங்கோண முக்கோணங்கள் எல்லாம் வடிவொத்த முக்கோணங்களாக அமையும்.

• கோசைன்:

செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் அடுத்துள்ளபக்கம் மற்றும் செம்பக்கத்தின் விகிதமாகும். எடுத்துக்கொள்ளப்படும் கோணத்தின் நிரப்புக்கோணத்தின் சைன் மதிப்பிற்குச் சமமாக அமைவதால் கோசைன்(கோ-சைன்) என்று பெயர்பெற்றுள்ளது.^[2].

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}.}$

• டேன்ஜெண்ட்:

செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் டேன்ஜெண்ட் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மற்றும் அடுத்துள்ளபக்கத்தின் விகிதமாகும்.

பெயர்க் காரணம்: இம்மதிப்பை ஓரலகு வட்டத்தின் தொடுகோட்டுத்துண்டாகக் குறிக்க முடியும் என்பதால் தொடும் கோடு என்ற பொருள்படும் linea tangens அல்லது தொடுவதற்கு என்ற பொருள்படும் tangere லத்தீன் மொழிச் சொற்களில் இருந்து இப்பெயர்பெற்றது.^[3]

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}.}$

தலைகீழிச் சார்புகள்

மீதமுள்ள மூன்று சார்புகளையும் முதல் மூன்று சார்புகளின் தலைகீழிச் சார்புகளாகக் காணலாம்.

• கோசீக்கெண்ட்:

csc(A), அல்லது cosec(A) என்பது sin(A) -ன் தலைகீழியாகும்.

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}}.}$

• சீக்கெண்ட்:

sec(A) என்பது cos(A) -ன் தலைகீழியாகும்.

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {h}{b}}.}$

பெயர்க் காரணம்: இவ்விகிதத்தை ஓரலகு வட்டத்தை வெட்டுக் கோட்டின் மூலம் குறிக்கமுடியும் என்பதால், வெட்டுவதற்கு என்ற பொருள்படும் லத்தீன் மொழிச் சொல் secare ஆகும்.^[4].

• கோடேன்ஜெண்ட்:

cot(A) என்பது tan(A) -ன் தலைகீழி.

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {b}{a}}.}$

வரையறை- சாய்வு வாயிலாக

செங்கோண முக்கோணங்களின் மூலம் வரையறுப்பது போல ஒரு கிடைமட்டக்கோட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரு கோட்டுத்துண்டின் எழுச்சி (rise), ஓட்டம்(run), சாய்வு ஆகியவற்றின் மூலமாகவும் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம்.

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகு என்க. அக்கோட்டுத்துண்டு ஒரு குறிப்பிட்ட கிடைமட்டக்கோட்டுடன் உருவாக்கும் கோணம் A என்க. இக்கோணத்தின்:

• சைன் மதிப்பு கோட்டுத்துண்டின் செங்குத்தான எழுச்சியின் அளவுக்குச் சமம்.

SinA = எழுச்சி

• கொசைன் மதிப்பு கோட்டுத்துண்டின் கிடைமட்ட ஓட்டத்தின் அளவுக்குச் சமம்.

CosA = ஓட்டம்.

• டேன்ஜெண்ட் மதிப்பு கோட்டுத்துண்டின் சாய்வுக்குச் சமம்

.tanA= சாய்வு = எழுச்சி / ஓட்டம்.

கோட்டுத்துண்டின் நீளம் சாய்வின் மதிப்பை பாதிப்பதில்லை. ஆனால் எழுச்சி மற்றும் ஓட்டத்தின் மதிப்புகள் கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தைச் சார்ந்துள்ளன. கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகாக இல்லையென்றால் குறிப்பிட கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின்

• எழுச்சியைக் காண கோணத்தின் சைன் மதிப்பை கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தாலும்,
• ஓட்டத்தின் மதிப்பைக் காண கோசைன் மதிப்பை கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தாலும் பெருக்கிக் கொள்ள வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக:

கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 5 அலகுகள் எனில் 7° கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின்:

எழுச்சி = 5 sin(7°)

ஓட்டம் = 5 cos(7°)

வரையறை- ஓரலகு வட்டம் வாயிலாக

ஓரலகு வட்டம்

ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தைக் கொண்டு வரையறுக்கலாம். ஓரலகு வட்டம் என்பது ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் ஆரம் 1 அலகும் கொண்ட வட்டமாகும். நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்கு ஓரலகு வட்டத்தின் மூலமான வரையறை அவ்வளவாகப் பொருந்தாவிடினும், (0, π/2 ) -ல் அமையும் கோணங்களுக்கு மற்றுமல்லாது அனைத்து மெய்யளவு கோணங்களுக்கும் பொருத்தமாக அமையும். மேலும் ஒரே படத்தின் மூலம் அனைத்து முக்கியமான கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகளையும் காண முடிகிறது. பித்தேகோரசு தேற்றத்தின்படி ஓரலகு வட்டத்தின் சமன்பாடு:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.\,}$

படத்தில் வழக்கமாக பயன்படும் கோணங்கள் (ரேடியனில்) தரப்பட்டுள்ளன. கோணங்கள் கடிகாரதிசையில் அளக்கப்பட்டால் எதிர்மமாகவும், கடிகார திசைக்கு எதிராக அளக்கப்பட்டால் நேர்மமாகவும் அமையும்.

x-அச்சின் நேர்மப் பகுதியோடு, ஆதிப்புள்ளியில் θ கோணம் உண்டாக்கும் ஒரு கோடு ஓரலகு வட்டத்தை சந்திக்கிறது என்க. அந்த சந்திக்கும் புள்ளியின் x- மற்றும் y-அச்சுதூரங்கள் முறையே cos θ மற்றும் sin θ -க்குச் சமம். செங்கோண முக்கோண முறை வரையறைப்படியும் இதை உணரலாம். வெட்டும் புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்: (x, y) என்க. ஓரலகு வட்டத்தின் ஆரம் செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம். எனவே செம்பக்கத்தின் அளவு 1 அலகு.

sin θ  =  y / 1 =  y

cos θ  =  x / 1 =  x .

செம்பக்கத்தின் அளவை மாற்றாமல் 1 அலகாகக் கொண்டு மற்ற இரு பக்க அளவுகளை மாற்றுவதன் மூலம் கிடைக்கக்கூடிய எண்ணிலிடங்கா செங்கோண முக்கோணங்களை ஓரலகு வட்டத்தில் காணலாம்.

ஓரலகு வட்டத்திலிருந்து நேரிடையாக சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகள் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. மற்ற நான்கு சார்புகளையும் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \theta &={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\ \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {1}{\tan \theta }}\\\sec \theta &={\frac {1}{\cos \theta }},\ \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

θ கோணத்தின் அனைத்து முக்கோணவியல் சார்புகளும் வடிவியல் வரைமுறையில் ஓரலகு வட்டத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.இப்பொழுது இவை அரிதாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

மாறாக ஆறு சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தின் மூலம் நேரிடையாக வடிவவியல் முறையில் வரையறுக்கலாம்.

வட்டநாண் AB வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தில் பாதியளவு θ.

• sin(θ) = AC (நாணில் பாதியளவு), இது பண்டைய இந்திய கணிதவியலாளர் அறிமுகப்படுத்திய வரையறை.^[5]
• cos(θ) = கிடைமட்டதூரம் OC
• tan(θ) = AE, A வழியாக ஓரலகு வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டுத்துண்டின் நீளம்.
• cot(θ) = AF. மற்றுமொரு தொடுகோட்டுத்துண்டு,
• sec(θ)  =  OE
• csc(θ)  =  OF

இவ்வரைமுறையிருந்து θ -ன் அளவு, π/2 -ஐ நெருங்கும்போது சீக்கெண்ட் மற்றும் டேன்ஜெண்ட் சார்புகள் விரிவதையும், பூச்சியத்தை நெருங்கும்போது கோசீக்கெண்ட் மற்றும் கோடேன்ஜெண்ட் சார்புகள் விரிவதையும் காணமுடியும்.(இதேபோன்று பல வடிவியல் வரைமுறைகளின் மூலம் முக்கோணவியல் அடிப்படை முற்றொருமைகளை நிறுவலாம்.^[6])

தொடர்களின் வடிவில்

ஆதியை மையமாகக் கொண்ட முழு வட்டத்திற்கு, சைன் சார்பு (நீலம்), அதன் டெயிலரின் பல்லுறுப்புக்கோவையால் (படி-7) (பிங்க்) தோராயப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

டெயிலரின் விரிவுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் முற்றொருமைகள், எல்லா மெய்யெண்கள் x -க்கும் உண்மையெனக் காட்டலாம்.^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}}$

சிலசமயங்களில் இம்முற்றொருமைகள் சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளின் வரையறைகளாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன. இவ்விரண்டு விரிவுகளையும் சேர்த்தால் ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.

cos x + i sin x = e^ix.

மற்ற முக்கோணவியல் சார்புகளின் விரிவுகளையும் காணமுடியும்.^[8]

B_n: n -ஆம் பெர்னெளலியின் எண்

E_n: n -ஆம் ஆய்லரின் எண்

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் வாயிலாக

சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகள் இரண்டுமே பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.:

${\displaystyle y''=-y.\,}$

• ${\displaystyle \scriptstyle \left(y'(0),y(0)\right)=(1,0)\,}$ என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் தனித்த தீர்வு சைன் சார்பு,
• ${\displaystyle \scriptstyle \left(y'(0),y(0)\right)=(0,1)\,}$என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் தனித்த தீர்வு கோசைன் சார்பு.
• ${\displaystyle y'=1+y^{2}\,}$ என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தனித்த தீர்வு டேன்ஜெண்ட் சார்பு

இது நிறைவு செய்யும் நிபந்தனை y(0) = 0. டேன்ஜெண்ட் சார்பு இந்த வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும் என்பதற்கான நிறுவல் உள்ளது.^[9]

மேற்கோள்கள்

1. Oxford English Dictionary, sine, n.²
2. Oxford English Dictionary, cosine, n.
3. Oxford English Dictionary, tangent, adj. and n.
4. Oxford English Dictionary, secant, adj. and n.
5. name=boyer
6. See Maor (1998)
7. See Ahlfors, pages 43–44.
8. Abramowitz; Weisstein.
9. Needham, p. Visual Complex Analysis. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0198534469.

வெளி இணைப்புகள்

• Visionlearning Module on Wave Mathematics
• GonioLab பரணிடப்பட்டது 2007-10-06 at the வந்தவழி இயந்திரம்: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
• Dave's draggable diagram. (Requires java browser plugin)