சாய்வு
From Wikipedia, the free encyclopedia
From Wikipedia, the free encyclopedia
ஒரு நேர்கோடு எப்படி சாய்ந்துள்ளது அல்லது சரிந்துள்ளது என்றதன் அளவே சாய்வு (slope) எனப் பொதுவாக அழைக்கப்படும்[1]. சாய்வை ஏற்றம்/ஓட்டம் அல்லது இறக்கம்/ஓட்டம் என்று வரையறுக்கலாம். சாய்வின் அளவு அதிகமானால் அதன் சரிவு அதிகமாய் உள்ளதை குறிக்கும். பொதுவாக சாய்வு m எனக் குறிக்கப்படுகிறது[2].
x , y அச்சுக்களைக் கொண்ட தளத்திலமைந்த ஒரு கோட்டின் சாய்வின் குறியீடு m . அக்கோட்டின் மீதமைந்த இரு வெவ்வேறான புள்ளிகளின் y அச்சுச் தூரங்களின் வித்தியாசத்திற்கும் ஒத்த x அச்சுத் தூரங்களின் வித்தியாசத்திற்குமான விகிதமே அக்கோட்டின் சாய்வு. இச் சாய்விற்கான கணித வாய்ப்பாடு:
(கணிதத்தில் வித்தியாசம் அல்லது மாற்றத்தைக் குறிப்பதற்குப் பொதுவாக கிரேக்க எழுத்து Δ பயன்படுத்தப்படுகிறது.)
(x1,y1), (x2,y2) என்பன கோட்டின் மீதமைந்த இரு புள்ளிகள் எனில்,
சாய்வு காணும் வாய்ப்பாடு:
xy தளத்திலுள்ள செங்குத்துக் கோடுகளுக்கு (y அச்சுக்கு இணையான கோடுகள்) இவ்வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்த இயலாது. ஏனென்றால் அக்கோடுகளின் மீதுள்ள எல்லாப்புள்ளிகளுக்கும் x அச்சு தூரங்கள் சமம். சாய்வின் வாய்ப்பாட்டின் பகுதியின் மதிப்பு பூச்சியமாவதால் பின்னத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிட முடியாது. எனவே செங்குத்துக்கோடுகளின் சாய்வின் மதிப்பு முடிவிலி, அதாவது வரையறுக்கப்படாதது ஆகும்.
(2,8), (3,20) என்ற இரு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் கோட்டின் சாய்வு:
எனவே கோட்டின் சமன்பாடு புள்ளி-சாய்வு வடிவில்:
இக்கோடு x அச்சுடன் உண்டாக்கும் கோணம் θ எனில்:
y = -3x + 1, y = -3 x - 2 என்ற இரு கோடுகளின் சாய்வுகள் சமமாக (m = -3) உள்ளன. மேலும் அவையிரண்டும் ஒன்றோடொன்று பொருந்தும் கோடுகளும் அல்ல என்பதால், இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று இணைகோடுகள்.
வகை நுண்கணிதத்தில் சாய்வு முக்கியமான ஒரு கருத்துரு. நேரியலற்ற சார்புகளுக்கு அதன் மாறுவீதம் வளைகோட்டின் மீது மாறுபடுகிறது. ஒரு வளைகோட்டின் மீதமையும் ஒரு புள்ளியில் காணப்படும் வகைக்கெழுவானது, அப்புள்ளியில் வளைகோட்டிற்கு வரைப்படும் தொடுகோட்டின் சாய்விற்குச் சமம். எனவே ஒரு வளைகோட்டின் மீதமையும் ஒரு புள்ளியில் காணப்படும் வகைக்கெழு, அப்புள்ளியில் வளைக்கோட்டுச் சார்பின் மாறுவீதமாகும்.
வளைகோட்டின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட x , y -அச்சுக்களின் வழியான தூரங்கள் முறையே Δx , Δy எனில் அவ்விரு புள்ளிகளை இணைக்கும் வெட்டுக்கோட்டின் சாய்வு:
(ஒரு கோட்டின் மீதமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட வெட்டுக்கோடு எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூலக்கோடாகவே இருக்கும். ஆனால் வேறு எந்தவகை வளைகோடுகளுக்கும் அவ்வாறு அமையாது.)
எடுத்துக்காட்டாக, y = x2 என்ற வளையின் புள்ளிகள் (0,0) , (3,9) இரண்டையும் இணைக்கும் வெட்டுக்கோட்டின் சாய்வு 3. இடைமதிப்புத் தேற்றப்படி, இவ்வளைகோட்டிற்கு x = 3⁄2 புள்ளியில் தொடுகோட்டின் சாய்வும் 3.)
Δy , Δx இன் அளவுகள் பூச்சியத்தை அணுகுமாறு, இரு புள்ளிகளையும் ஒன்று மற்றொன்றை நெருங்குமாறு நகர்த்தும்போது வெட்டுக்கோடு கிட்டத்தட்ட ஒரு தொடுகோடாக மாறும். எனவே அந்நிலையில் வெட்டுக்கோட்டின் சாய்வும் தொடுகோட்டின் சாய்வை அணுகும். வகை நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி Δy , Δx இன் மதிப்புகள் 0 ஐ அணுகும்போது Δy/Δx எல்லை மதிப்பைக் காணலாம். இந்த எல்லையின் மதிப்பே தொடுகோட்டின் சாய்வு. y இன் மதிப்பு x ஐச் சார்ந்தது எனில், Δx மட்டும் 0 ஐ அணுகுவதாகக் கொண்டு Δy/Δx இன் எல்லை மதிப்பைக் கணக்கிட்டால் போதுமானது. எனவே Δx பூச்சியத்தை அணுகும்போதான Δy/Δx இன் எல்லை மதிப்பு தொடுகோட்டின் சாய்வு ஆகும். வகையிடல் எனப்படும் இவ்வெல்லை மதிப்பு dy/dx எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.