Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
En delgrupp eller undergrupp är ett matematiskt objekt inom gruppteori. Om vi har en grupp G med en binär operation *, säger vi att en delmängd H av G är en delgrupp till G om H också är en grupp under operationen *. Mer precist är H en delgrupp till G om inskränkningen av * till H x H är en gruppoperation på H. Detta skrivs vanligtvis H ≤ G, utläst "H är en delgrupp till G".
En äkta delgrupp till en grupp G är en delgrupp H som är en äkta delmängd av G (det vill säga H ≠ G). Den triviala delgruppen till varje grupp är delgruppen {e}, som bara består av identitetselementet.
Samma definitioner gäller också för semigrupper, men i det följande diskuteras enbart delgrupper till grupper. Gruppen G betecknas ibland (G,*), vanligtvis för att framhäva operationen * när G har flera algebraiska eller andra strukturer. Vi följer den vanliga konventionen att skriva produkten a*b som ab.
Låt G vara den abelska gruppen med elementen
och operationen addition modulo åtta. Dess Cayleytabell är
+ | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Denna grupp har två icke-triviala delgrupper: J = {0, 4} och H = {0, 2, 4, 6}, där J också är en delgrupp till H. Cayleytabellen för H är den övre vänstra kvadranten i Cayleytabellen för G. Gruppen G är cyklisk, och det är även dess delgrupper. I allmänhet är delgrupper till cykliska grupper också cykliska.
Givet en grupp G med en delgrupp H och något a i G definieras den vänstra sidoklassen aH = {ah : h tillhör H}. Eftersom a är inverterbar är avbildningen φ : H → aH så att φ(h) = ah en bijektion. Vidare ingår varje element i G i exakt en vänster sidoklass till H; de vänstra sidoklasserna är ekvivalensklasser som hör till ekvivalensrelationen a1 ~ a2 om och endast om a1−1a2 tillhör H. Antalet vänster sidoklasser till H kallas H:s index i G och betecknas [G : H].
Lagranges sats säger att för en ändlig grupp G och en delgrupp H gäller
där |G| och |H| betecknar ordningen för G respektive H. Ordningen för varje delgrupp till G (och ordningen för varje element i G) måste vara en delare av |G|.
Högra sidoklasser definieras på motsvarande sätt: Ha = {ha : h tillhör H}. De är också ekvivalensklasser för en motsvarande ekvivalensrelation, och deras antal är [G : H].
Om aH = Ha för alla a i G kallas H en normal delgrupp. Varje delgrupp med index 2 är normal: både de vänstra och de högra sidoklasserna är helt enkelt delgruppen och dess komplement.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.