Delmängd

Inom mängdteorin är en mängd A en delmängd av en mängd B om alla element som ingår i A även ingår i B. Detta skrivs A ⊆ B.^[1] Varje mängd är en delmängd av sig själv och den tomma mängden ∅ är en delmängd av alla mängder. Om A ⊆ B och B ⊆ A så följer A = B. Formellt definieras en delmängd som

${\displaystyle A\subseteq B\iff \forall x(x\in A\implies x\in B).}$

A är en äkta delmängd av B (B innehåller element som inte förekommer i A) och B är därmed en äkta övermängd till A

En delmängd uppfyller det formella sambandet

${\displaystyle A\subseteq B\iff A\cap B=A.}$

En äkta delmängd A till en mängd B är en delmängd till B som inte är lika med B, det vill säga B innehåller element som inte finns i A.^[1] Ingen mängd är en äkta delmängd till sig själv och den tomma mängden är en äkta delmängd till alla icke-tomma mängder.

Om A är en delmängd till B sägs B vara en övermängd till A, vilket betecknas ${\displaystyle B\supseteq A}$ (A är en äkta delmängd av B om och endast om B är en äkta övermängd till A).

Exempel

• Mängden av alla naturliga tal är en delmängd av mängden av alla heltal
• Mängden av alla hästar är en delmängd av mängden av alla däggdjur
• Mängden A = {1, 2} är en äkta delmängd av B = {1, 2, 3}, således är både A ⊆ B och A ⊊ B sanna
• Mängden D = {1, 2, 3} är en delmängd av E = {1, 2, 3}, således är D ⊆ E sann och D ⊊ E är falsk
• Varje mängd är delmängd av sig själv men inte en äkta delmängd. (X ⊆ X sann och X ⊊ X är falsk för varje mängd X)