Теорија бројева

Теорија бројева је грана математике која се бави особинама бројева, посебно целих, као и ширих класа проблема који проистичу из ове студије.^[1]

Израз аритметика се такође користи за теорију бројева.^{[note 1]} Ово је старији израз који више није популаран колико је некада био. Теорију бројева су некада звали виша аритметика, али и овај израз више није у употреби. Па ипак, израз аритметика се и даље јавља у именима неких математичких области (аритметичке функције, аритметика елиптичких кривих, основна теорема аритметике). Ово смисао израза аритметика не треба мешати ни са елементарном аритметиком, нити са граном логике која проучава Пеанову аритметику као формални систем. Математичари који се баве теоријом бројева се називају теоретичари бројева.

Када се природни бројеви запишу у спирали и обележе прости бројеви, добија се интересантна и не потпуно објашњена шема, која се зове Уламова спирала.

Области

Елементарна теорија бројева

У елементарној теорији бројева, се проучавају цели бројеви без коришћења техника из других области математике.^[2] Овде спадају питања дељивости, коришћења Еуклидовог алгоритма за израчунавање највећег заједничког делиоца, факторизације целих бројева у просте бројеве, проучавање савршених бројева и конгруенција. Неколико важних открића из ове области су Мала Фермаова теорема, Ојлерова теорема, Кинеска теорема о остатку и закон квадратног реципроцитета.^[3] Својства мултипликативних функција попут Мебијусове функције, Ојлерове фи функције, низова целих бројева, факторијела, и Фибоначијевих бројева такође спадају у ову област.

Многа питања из области теорије бројева се могу исказати у терминима елементарне теорије бројева, али многа од њих захтевају врло дубоко разматрање и нове приступе који су изван домена елементарне теорије бројева. Међу оваквим примерима су:

• Голдбахова претпоставка која се тиче изражавања парних бројева као збирова два проста броја.
• Каталанова претпоставка (сада Михаилескуова теорема) која се тиче узастопних степена целих бројева.
• Претпоставка о простим близанцима, која говори о бесконачности парова простих бројева.
• Колацова претпоставка која се тиче просте итерације.
• Последња Фермаова теорема (изречена 1637, али доказана тек 1994) која тврди да је немогуће наћи целе бројеве различите од нуле , такве да ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ за неко целобројно веће од 2.

За теорију диофантских једначина је чак показано да је неодлучива (види десети Хилбертов проблем).

Аналитичка теорија бројева

Аналитичка теорија бројева користи технику анализе и комплексне анализе за решавање проблема везаних за целе бројеве.^[4] Пример су теорема о простим бројевима и повезана Риманова хипотеза. Такође, за Ворингов проблем (представљање датог целог броја као збира квадрата, кубова итд.), конјектуру о простим близанцима (налажење бесконачно много парова простих бројева чија је разлика 2) и Голдбахову конјектуру (записивање парних бројева као збира два проста броја) се користе аналитички методи.^[5] Доказ трансцедентности математичких константи, као што су пи или , такође спада у аналитичку теорију бројева. Иако може изгледати да искази о трансцендентним бројевима не спадају у проучавање целих бројева, они у ствари представљају проучавање могућих вредности полинома са целобројним коефицијентима, израчунатим рецимо у ; они су такође у блиској вези са пољем диофантске апроксимације, где се истражује колико добро се дати реалан број може апроксимирати рационалним.

Алгебарска теорија бројева

У алгебарској теорији бројева, концепт броја се проширује на алгебарске бројеве који су нуле полинома са рационалним коефицијентима.^[6] Ови домени садрже елементе аналогне целим бројевима, такозване алгебарске целе бројеве. Овде позната својства целих бројева (попут јединствене факторизације) не морају да важе. Помоћу теорије Галоа, кохомологије групе, класне теорије поља, представљања група и L-функција је могуће у неком обиму повратити то уређење за ову нову класу бројева.

Многим питањима из теорије бројева се најлакше прилази тако што се проучавају по модулу за све просте . Ово се назива локализацијом и доводи до конструкције p-адних бројева; ова област се назива локалном анализом и потиче из алгебарске теорије бројева.

Геометријска теорија бројева

Геометријска теорија бројева (традиционално звана геометријом бројева) укључује неке основне геометријске појмове у питања теорије бројева. Полази од теореме Минковског, а води до базичних доказа коначности класног броја и Дирихлеове јединичне теореме.

Комбинаторна теорија бројева

Комбинаторна теорија бројева се бави проблемима теорије бројева који укључују комбинаторне идеје у својим формулацијама или решењима. Пал Ердош је главни оснивач ове гране теорије бројева. Типичне теме ове области укључују покривачки систем, проблем нулте суме, и аритметичке прогресије у скупу целих бројева. У овој области су корисне алгебарске и аналитичке методе.

Рачунарска теорија бројева

Рачунарска теорија бројева проучава алгоритме важне за теорију бројева. Брзи алгоритми за тестирање простости броја и факторизацију целих бројева имају важне примене у криптографији.

Напомене

1. Већ 1921. године је Т. Л. Хит објаснио: „Под аритметиком, Платон није мислио, на аритметику у нашем смислу, него на науку која разматра бројеве саме по себи, другим речима, оно што ми називамо теоријом бројева.“ Heath 1921, стр. 13

Референце

1. Long 1972, стр. 1.
2. Goldfeld 2003.
3. Edwards 2000, стр. 79.
4. Apostol 1976, стр. 7.
5. Granville 2008, section 1
6. Milne 2014, стр. 2.

Литература

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-90163-3. Приступљено 28. 02. 2016.
• Apostol, Tom M. „An Introduction to the Theory of Numbers”. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. Приступљено 28. 02. 2016.
• Becker, Oskar (1936). „Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente”. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B:Studien. Berlin: J. Springer Verlag. 3: 533—53.
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C. (1991) [1968]. A History of Mathematics (2nd изд.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8. 1968 edition at archive.org
• Clark, Walter Eugene (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy. University of Chicago Press. Приступљено 28. 02. 2016.
• Colebrooke, Henry Thomas (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. London: J. Murray. Приступљено 28. 02. 2016.
• Davenport, Harold; Montgomery, Hugh L. (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate texts in mathematics. 74 (revised 3rd изд.). Springer. ISBN 978-0-387-95097-6.
• Edwards, Harold M. (1983). „Euler and Quadratic Reciprocity”. Mathematics Magazine. Mathematical Association of America. 56 (5): 285—291. JSTOR 2690368. doi:10.2307/2690368.
• Edwards, Harold M. (2000) [1977]. Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 50 (reprint of 1977 изд.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95002-0.
• Fermat, Pierre de (1679). Varia Opera Mathematica. Toulouse: Joannis Pech. Приступљено 28. 02. 2016.
• Friberg, Jöran (1981). „Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations”. Historia Mathematica. Elsevier. 8 (3): 277—318. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0.
• von Fritz, Kurt (2004). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum”. Ур.: Christianidis, J. Classics in the History of Greek Mathematics. Berlin: Kluwer (Springer). ISBN 978-1-4020-0081-2.
• Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (trans.) (1966) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae. Springer. ISBN 978-0-387-96254-2.
• Goldfeld, Dorian M. (2003). „Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective” (PDF). Приступљено 28. 02. 2016.
• Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert (2007). „A book in search of a discipline”. Ур.: Goldstein, C.; Schappacher, N.; Schwermer, Joachim. The Shaping of Arithmetic after Gauss' "Disquisitiones Arithmeticae". Berlin & Heidelberg: Springer. стр. 3—66. ISBN 978-3-540-20441-1. Приступљено 28. 02. 2016.
• Granville, Andrew (2008). „Analytic number theory”. Ур.: Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2. Приступљено 28. 02. 2016.
• Porphyry; Guthrie, K. S. (trans.) (1920). Life of Pythagoras. Alpine, New Jersey: Platonist Press.
• Guthrie, Kenneth Sylvan (1987). The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids, Michigan: Phanes Press. ISBN 978-0-933999-51-0.
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers (Sixth изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243.
• Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. Приступљено 28. 02. 2016.
• Hopkins, J. F. P. (1990). „Geographical and Navigational Literature”. Ур.: Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. The Cambridge history of Arabic literature. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-32763-3.
• Huffman, Carl A. (08. 08. 2011). Zalta, Edward N., ур. „Pythagoras”. Stanford Encyclopaedia of Philosophy (Fall 2011 изд.). Приступљено 07. 02. 2012.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. 53. Providence, RI,: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3633-0.
• Plato; Jowett, Benjamin (trans.) (1871). Theaetetus.
• Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (2004). Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China (revised изд.). Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-238-696-0. Приступљено 28. 02. 2016.
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd изд.). Lexington, VA: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950.
• Mahoney, M. S. (1994). The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (Reprint, 2nd изд.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03666-3. Приступљено 28. 02. 2016.
• Milne, J. S. (2014). „Algebraic Number Theory”.
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory,. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6. Приступљено 28. 02. 2016.
• Morrow, Glenn Raymond (trans., ed.); Proclus (1992). A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02090-7.
• Mumford, David (2010). „Mathematics in India: reviewed by David Mumford” (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 57 (3): 387. ISSN 1088-9477.
• Neugebauer, Otto E. (1969). The Exact Sciences in Antiquity (corrected reprint of the 1957 изд.). New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. Приступљено 02. 03. 2016.
• Neugebauer, Otto E.; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945). Mathematical Cuneiform Texts. American Oriental Series. 29. American Oriental Society etc.
• O'Grady, Patricia (2004). „Thales of Miletus”. The Internet Encyclopaedia of Philosophy. Приступљено 07. 02. 2012.
• Pingree, David; Ya'qub, ibn Tariq (1968). „The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq”. Journal of Near Eastern Studies. University of Chicago Press. 26.
• Pingree, D.; al-Fazari (1970). „The Fragments of the Works of al-Fazari”. Journal of Near Eastern Studies. University of Chicago Press. 28.
• Plofker, Kim (2008). Mathematics in India. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12067-6.
• Qian, Baocong, ур. (1963). Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics). Beijing: Zhonghua shuju. Приступљено 28. 02. 2016.
• Rashed, Roshdi (1980). „Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson”. Archive for History of Exact Sciences. 22 (4): 305—321. doi:10.1007/BF00717654.
• Robson, Eleanor (2001). „Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322” (PDF). Historia Mathematica. Elsevier. 28 (28): 167—206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. Архивирано из оригинала (PDF) 21. 10. 2014. г.
• Sachau, Eduard; Bīrūni, ̄Muḥammad ibn Aḥmad (1888). Alberuni's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1. London: Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. Приступљено 28. 02. 2016.
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A Course in Arithmetic. Graduate texts in mathematics. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.
• Smith, D. E. (1958). History of Mathematics, Vol I. New York: Dover Publications.
• Tannery, Paul; Henry, Charles; Fermat, Pierre de (1891). Oeuvres de Fermat. (4 Vols.). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
• Iamblichus; Taylor, Thomas (1818). Life of Pythagoras or, Pythagoric Life. London: J. M. Watkins. Архивирано из оригинала 21. 07. 2011. г.
• Truesdell, C. A. (1984). „Leonard Euler, Supreme Geometer”. Ур.: Hewlett, John. Leonard Euler, Elements of Algebra (reprint of 1840 5th изд.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96014-2.
• Truesdell, C. A. (2007). „Leonard Euler, Supreme Geometer”. Ур.: Dunham, William. The Genius of Euler: reflections on his life and work. Volume 2 of MAA tercentenary Euler celebration. New York: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-558-4. Приступљено 28. 02. 2016.
• Varadarajan, V. S. (2006). Euler Through Time: A New Look at Old Themes. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3580-7. Приступљено 28. 02. 2016.
• Vardi, Ilan (1998). „Archimedes' Cattle Problem” (PDF). American Mathematical Monthly. 105 (4): 305—319. doi:10.2307/2589706.
• van der Waerden, Bartel L.; Dresden, Arnold (trans) (1961). Science Awakening. Vol. 1 or Vol 2. New York: Oxford University Press.
• Weil, André (1984). Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3141-3. Приступљено 28. 02. 2016.
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An introduction to the theory of numbers (rev. by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, 6th изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Приступљено 02. 03. 2016.
• Vinogradov, I. M. (2003) [1954]. Elements of Number Theory (reprint of the 1954 изд.). Mineola, NY: Dover Publications.
• Niven, Ivan M.; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (2008) [1960]. An introduction to the theory of numbers (reprint of the 5th edition 1991 изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-81-265-1811-1. Приступљено 28. 02. 2016.
• Rosen, Kenneth H. (2010). Elementary Number Theory (6th изд.). Pearson Education. ISBN 978-0-321-71775-7. Приступљено 28. 02. 2016.
• Borevich, A. I.; Shafarevich, Igor R. (1966). Number theory. Pure and Applied Mathematics. 20. Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-117850-5. MR 0195803.
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A course in arithmetic. Graduate texts in mathematics. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7.

Спољашње везе

• Number Theory Web