Риманова хипотеза

Риманова хипотеза је претпоставка о дистрибуцији нетривијалних нула Риманове зета-функције ${\displaystyle \zeta (s)\,}$. Први пут је формулисана у раду Бернарда Римана из 1859: О броју простих бројева испод задате величине ( ). Од тада, и поред огромних напора, овај проблем и даље остаје нерешен.

Реални део (у црвеној) и имагинарни део (у плавој боји) Риманове зета-функције на критичној линији Re(s) = 1/2. Првих неколико имагинарних нула се може видети за вредности Im(s) = ±14,135, ±21,022 и ±25,011.

Риманова зета-функција је дефинисана за све комплексне бројеве ≠ 1, и има тривијалне нуле у парним негативним целим бројевима (). Риманова хипотеза каже да се све нетривијалне нуле налазе на једној правој у комплексној равни, конкретно:

Реални део било које нетривијалне нуле Риманове зета-функције је ½, односно све нетривијалне нуле се налазе на критичној линији ½ + .

Историјат

Рад из 1859. је Риманов једини оглед у теорији бројева, али је хипотеза изнета у њему један од најзначајнијих нерешених проблема у савременој математици, пре свега зато што се доста важних резултата ослања на важење ове хипотезе (рецимо у криптографији, факторизацији целих бројева и полинома).

Легенда каже да се копија сакупљених Риманових радова у Хурвицовој (енгл. ) библиотеци након његове смрти сама отварала на страни на којој се налазио исказ Риманове хипотезе.

Давид Хилберт је на Другом међународном конгресу математичара у Паризу, 8. августа 1900. године поставио проблем Риманове хипотезе као један од двадесеттри Хилбертова проблема (проблем број осам). За Хилберта је Риманова хипотеза имала посебан значај, када су га питали шта би најпре урадио након 500-годишњег сна, Хилберт је одговорио да би прво питао да ли је Риманова хипотеза доказана.

Годфри Харолд Харди (енгл. ) је 1914. године доказао да се на критичној линији ½ + налази бесконачно много нула.

Риманова хипотеза је један од седам Миленијумских проблема Математичког института Клеј.

Покушаји доказивања

Риманова хипотеза је као и Последња Фермаова теорема била инспирација за небројене покушаје доказивања, где су подједнако неуспешни били и врхунски и математичари аматери. Када је 1995. године енглески математичар Ендру Вајлс извео доказ Фермаове последње теореме - фокус математичке заједнице је преусмерен на Риманову хипотезу, најистакнутији нерешени проблем у математици данас. Овде су набројани значајни неуспешни покушаји у новом миленијуму.

Мати Питканен () у септембру 2001, повукао доказ због грешке у новембру исте године.^[1]

Карлос Кастро (), и Хорге Махеха () су у серији радова од 2001. до 2006. године пробали да изграде теорију (користећи суперсиметрије и квантномеханички приступ) која би омогућила доказивање Риманове хипотезе. Њихов приступ је одбачен.^[2]

Каида Ши () у јулу 2003. године, доказ садржавао грешку.^[3]

Луј д'Бранж () у јулу 2004. године, нађен контрапример.^[4] Аутор је касније објавио Извињење за доказ Риманове Хипотезе.^[5]

Јинжу Хан () у јуну 2007. године, доказ садржавао грешку.^[6]

Андреј Мадрецки () у јулу 2007. године, доказ садржавао грешку.^[7]

Лев Аизенберг () у децембру 2007. године, повукао доказ због грешке у јануару 2008. године.^[8]

Ксиан-Јин Ли () у јулу 2008. године, неколико дана касније је повукао доказ због грешке (на страни 29).^[9]

Мајкл Атија је предложио доказ Риманове хипотезе 2018. године.^[10]

Потрага за нулама Риманове зета-функције

Дуго се веровало да је Риманова хипотеза резултат дубоке интуиције и осећаја за проблем. Карл Лудвиг Сигел () је, међутим, у тридесетим годинама 20. века анализирајући Риманове рукописе пронашао рачун за првих неколико нула на критичној правој, на неколико децималних цифара тачности.

Риманова хипотеза је нумерички проверена за првих 10¹³ нула (за вредности на критичној линији до 2,4·10¹²). Овај резултат су 2004. године добили Ксавијер Гордон () и Патрик Демишел () користећи Одлизко-Шонаге () алгоритам^[11] из 1988. године.

Све познате вредности за нуле на критичној линији су по свему судећи ирационални бројеви.

Све познате нуле су првог реда. Иако постојење нула вишег реда не би оповргло Риманову хипотезу - изазвало би озбиљне проблеме за доста савремених рачунских техника.