U geometriji, podskup Euklidovog prostora, ili specifičnije afini prostor nad realnim brojevima, je konveksan ako, sa bilo koje dve tačke, on povezuje ceo linijski segment koji ih povezuje. Ekvivalentno, konveksni skup ili konveksni region je podskup koji preseca svaku liniju u jednom linijskom segmentu (verovatno praznom).[1][2] Na primer, čvrsta kocka je konveksni skup, dok sve što je šuplje ili ima udubljenje, na primer, oblik polumeseca, nije konveksno.
Granica konveksnog skupa je uvek konveksna kriva. Presek svih konveksnih skupova koji sadrže dati podskup AEuklidovog prostora naziva se konveksni omotačA. To je najmanji konveksni skup koji sadrži A.
Konveksna funkcija je realno vrednosna funkcija definisana na intervalu sa svojstvom da je njegov epigraf (skup tačaka na ili iznad grafikona funkcije) konveksni skup. Konveksna minimizacija je potpolje optimizacije koje izučava problem minimizacije konveksnih funkcija nad konveksnim skupovima. Prva grana matemakia posvećena izučavanju svojstava konveksnih skupova i konveksnih funkcija se naziva konveksna analiza.
Pojam konveksnog skupa može se generalizovati, kao što je opisano u daljem tekstu.
Neka je Svektorski prostor ili afini prostor nad realnim brojevima, ili, generalnije, nad nekim uređenim poljem. Ovim su obuhvaćeni Euklidovi prostori, koji su afini prostori. podskupC od S je konveksan ako je za svako x i y u C, linijski segment koji povezuje x i y uključen u C. To znači da afina kombinacija(1 − t)x + ty pripada C, za svako x i y u C, i t na intervalu[0, 1]. To podrazumeva da je konveksnost (svojstvo da je konveksan) invarijantna pod afinim trasformacijama. Time se isto tako podrazumeva da je konveksni skup u realnom ili kompleksnomtopološkom vektorskom prostorupovezan putanjom, i stoga povezan.
Skup C je striktno konveksan ako je svaka tačka na linijskom segmentu koji povezuje x i y izuzev krajnjih tačaka u unutrašnjostiC.
Skup C je apsolutno konveksan ako je konveksan i balansiran.
Konveksni podskupovi iz R (skupa realnih brojeva) su intervali i tačke iz R. Neki primeri konveksnih podskupova Euklidske ravni su čvrsti pravilni mnogouglovi, čvrsti trouglovi i preseci čvrstih trouglova. Neki primeri konveksnih podskupova Euklidskog trodimenzionalnog prostora su Arhimedova tela i pravilni poliedri. Poliedri Kepler-Puansoa su primeri nekonveksnih skupova.
Nekonveksni skup
Skup koji nije koveksan se naziva nekonveksni skup. Mnogougao koji nije konveksni poligon se ponekad naziva konkavni poligon,[3] a neki izvori generalnije koriste termin konkavni skup sa značenjem nekonveksni skup,[4] mada ta upotreba većinom nije dozvoljena.[5][6]
Komplement konveksnog skupa, kao što je epigrafkonkavne funkcije, se ponekad naziva reverzni konveksni skup, posebno u kontekstu matematičke optimizacije.[7]
Takayama, Akira (1994), Analytical Methods in Economics, University of Michigan Press, стр.54, ISBN9780472081356, „An often seen confusion is a "concave set". Concave and convex functions designate certain classes of functions, not of sets, whereas a convex set designates a certain class of sets, and not a class of functions. A "concave set" confuses sets with functions.”
Andrew, A. M. (1979), „Another efficient algorithm for convex hulls in two dimensions”, Information Processing Letters, 9 (5): 216—219, doi:10.1016/0020-0190(79)90072-3
Birkhoff, Garrett (1935), „Integration of functions with values in a Banach space”, Transactions of the American Mathematical Society, 38 (2): 357—378, MR1501815, doi:10.2307/1989687
Brown, K. Q. (1979), „Voronoi diagrams from convex hulls”, Information Processing Letters, 9 (5): 223—228, doi:10.1016/0020-0190(79)90074-7
Chan, Timothy M. (2012), „Three problems about dynamic convex hulls”, International Journal of Computational Geometry and Applications, 22 (4): 341—364, MR2994585, doi:10.1142/S0218195912600096
Chang, J. S.; Yap, C.-K. (1986), „A polynomial solution for the potato-peeling problem”, Discrete & Computational Geometry, 1 (2): 155—182, MR834056, doi:10.1007/BF02187692
Chazelle, Bernard (1985), „On the convex layers of a planar set”, IEEE Transactions on Information Theory, 31 (4): 509—517, MR798557, doi:10.1109/TIT.1985.1057060
Chen, Qinyu; Wang, Guozhao (mart 2003), „A class of Bézier-like curves”, Computer Aided Geometric Design, 20 (1): 29—39, doi:10.1016/s0167-8396(03)00003-7
Cranston, M.; Hsu, P.; March, P. (1989), „Smoothness of the convex hull of planar Brownian motion”, Annals of Probability, 17 (1): 144—150, JSTOR2244202, MR972777
Demaine, Erik D.; Gassend, Blaise; O'Rourke, Joseph; Toussaint, Godfried T. (2008), „All polygons flip finitely ... right?”, Surveys on Discrete and Computational Geometry, Contemporary Mathematics, 453, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр.231—255, MR2405683, doi:10.1090/conm/453/08801
Edelsbrunner, Herbert; Kirkpatrick, David G.; Seidel, Raimund (1983), „On the shape of a set of points in the plane”, IEEE Transactions on Information Theory, 29 (4): 551—559, doi:10.1109/TIT.1983.1056714
Gardner, L. Terrell (1984), „An elementary proof of the Russo-Dye theorem”, Proceedings of the American Mathematical Society, 90 (1): 171, MR722439, doi:10.2307/2044692
Gel'fand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. (1994), „6. Newton Polytopes and Chow Polytopes”, Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, стр.193—213, ISBN0-8176-3660-9, MR1264417, doi:10.1007/978-0-8176-4771-1
Graham, Ronald L.; Yao, F. Frances (1983), „Finding the convex hull of a simple polygon”, Journal of Algorithms, 4 (4): 324—331, MR729228, doi:10.1016/0196-6774(83)90013-5
Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics (2nd изд.), Springer, ISBN9780387004242
Gustin, William (1947), „On the interior of the convex hull of a Euclidean set”, Bulletin of the American Mathematical Society, 53: 299—301, MR20800, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08787-5