Еуклидов простор

Еуклидов простор је фундаментални простор класичне геометрије чија се својства описују аксиомама апсолутне геометрије и Еуклидовим постулатом (аксиомом) о паралелним правама. Првобитно, то јест, у Еуклидовим елементима, то је био тродимензионални простор еуклидске геометрије, али у модерној математици постоје еуклидски простори било које позитивне целобројне димензије,^[1] укључујући тродимензионални простор и еуклидску раван (димензија два). Квалификатор „еуклидски“ се користи за разликовање еуклидских простора од других простора који су касније разматрани у физици и модерној математици.

Тачка у тродимензионалном еуклидском простору може се лоцирати по три координате.

Древни грчки геометри су увели еуклидски простор за моделовање физичког простора. Њихов рад је сакупио старогрчки математичар Еуклид у његовим елементима,^[2] са великом иновацијом доказивања свих својстава простора као теорема, полазећи од неколико основних својстава, названих постулати, који су се или сматрали очигледним (јер на пример, постоји тачно једна права линија која пролази кроз две тачке), или је изгледало немогуће доказати (паралелни постулат).

Након увођења нееуклидских геометрија крајем 19. века, стари постулати су поново формализовани да дефинишу еуклидске просторе кроз аксиоматску теорију. Показало се да је друга дефиниција еуклидских простора помоћу векторских простора и линеарне алгебре еквивалентна аксиоматској дефиницији. Управо се ова дефиниција чешће користи у савременој математици и детаљно је описана у овом чланку.^[3]

Општије речено, Еуклидов простор се назива m-димензионални метрички простор,^[1] у којем је могуће увести Декартов координатни систем и тада се метрика дефинише на следећи начин:^[2] растојање између тачке M са координатама ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{m})}$ и тачке M'${\displaystyle (x_{1}',x_{2}',...,x_{m}')}$ израчунава се по формули:

${\displaystyle \rho ={\overline {MM'}}={\sqrt {(x_{1}-x_{1}')^{2}+(x_{2}-x_{2}')^{2}}}.}$

Дефиниција

Историја дефиниције

Еуклидски простор су увели стари Грци као апстракцију нашег физичког простора. Њихова велика иновација, која се појавила у Еуклидовим елементима, била је да изграде и докажу сву геометрију полазећи од неколико веома основних особина, које су апстраховане из физичког света, и које се не могу математички доказати због недостатка основних алата. Ова својства се називају постулати, или аксиоми у модерном језику. Овај начин дефинисања еуклидског простора и даље је у употреби под називом синтетичка геометрија.

Године 1637, Рене Декарт је увео картезијанске координате и показао да то омогућава свођење геометријских проблема на алгебарска израчунавања са бројевима. Ово свођење геометрије на алгебру била је велика промена гледишта, пошто су до тада реални бројеви дефинисани у смислу дужина и растојања.

Еуклидска геометрија није примењивана у просторима димензија већих од три све до 19. века. Лудвиг Шлафли је генерализовао еуклидску геометрију на просторе димензије n, користећи и синтетичке и алгебарске методе, и открио све регуларне политопе (вишедимензионални аналози Платонових тела) који постоје у еуклидским просторима било које димензије.^[4]

Упркос широкој употреби Декартовог приступа, који се звао аналитичка геометрија, дефиниција еуклидског простора остала је непромењена до краја 19. века. Увођење апстрактних векторских простора омогућило је њихову употребу у дефинисању еуклидских простора са чисто алгебарском дефиницијом. Показало се да је ова нова дефиниција еквивалентна класичној дефиницији у смислу геометријских аксиома. Управо ова алгебарска дефиниција се сада најчешће користи за увођење еуклидских простора.

Мотивација савремене дефиниције

Један од начина да се размишља о еуклидској равни је као скуп тачака које задовољавају одређене односе, који се могу изразити у смислу удаљености и углова. На пример, постоје две основне операције (које се називају покрети) на равни. Једна је транслација, што значи померање равни тако да се свака тачка помера у истом правцу и за исту удаљеност. Друга је ротација око фиксне тачке у равни, у којој се све тачке у равни окрећу око те фиксне тачке под истим углом. Једно од основних начела еуклидске геометрије је да две фигуре (које се обично сматрају подскуповима) равни треба сматрати еквивалентним (конгруентним) ако се једна може трансформисати у другу неким низом транслација, ротација и рефлексија (погледајте испод).

Да би све ово било математички прецизно, теорија мора јасно дефинисати шта је еуклидски простор и повезане појмове удаљености, угла, транслације и ротације. Чак и када се користи у физичким теоријама, еуклидски простор је апстракција одвојена од стварних физичких локација, специфичних референтних оквира, мерних инструмената и тако даље. Чисто математичка дефиниција еуклидског простора такође игнорише питања јединица дужине и других физичких димензија: растојање у „математичком“ простору је број, а не нешто изражено у инчима или метрима.

Стандардни начин да се математички дефинише еуклидски простор, као што је спроведено у наставку овог чланка, је дефинисање еуклидског простора као скупа тачака на којима делује реални векторски простор, простор транслација који је опремљен унутрашњим производом.^[1] Деловање транслација чини простор афиним простором, а то омогућава дефинисање правих, равни, подпростора, димензија и паралелизма. Унутрашњи производ омогућава дефинисање растојања и углова.

Скуп ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ од n-туплова реалних бројева опремљених скаларним производом је еуклидски простор димензије n. Насупрот томе, избор тачке која се зове исходиште и ортонормалне основе простора транслација је еквивалентан дефинисању изоморфизма између еуклидског простора димензије n и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ посматрано као еуклидски простор.

Из тога следи да се све што се може рећи о еуклидском простору може рећи и о ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Стога многи аутори, посебно на основном нивоу, називају ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ стандардним еуклидским простором димензије n,^[5] или једноставно еуклидским простор омдимензије n.

Разлог за увођење такве апстрактне дефиниције еуклидских простора и за рад са њом уместо ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ је тај што је често пожељно радити на начин без координата и исходишта (то јест, без бирања жељене основе и жељеног порекла). Други разлог је тај што нема порекла нити било какве основе у физичком свету.

Види још

• Простор
• Геометрија

Референце

1. Solomentsev 2001.
2. Ball 1960, стр. 50–62.
3. Berger 1987. sfn грешка: више циљева (2×): CITEREFBerger1987 (help)
4. Coxeter 1973.
5. Berger 1987, Section 9.1. sfn грешка: више циљева (2×): CITEREFBerger1987 (help)

Литература

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th изд.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Artin, Emil (1988) [1957], Geometric Algebra, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., стр. x+214, ISBN 0-471-60839-4, MR 1009557, doi:10.1002/9781118164518
• Ball, W.W. Rouse (1960) [1908]. A Short Account of the History of Mathematics (4th изд.). Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0.
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Coxeter, H.S.M. (1973) [1948]. Regular Polytopes (3rd изд.). New York: Dover. „"Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions."”
• Solomentsev, E.D. (2001). „Euclidean space”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104.
• Berger, Marcel (1984), „Affine spaces”, Problems in Geometry, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Cameron, Peter J. (1991), Projective and polar spaces, QMW Maths Notes, 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd изд.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 123930
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl 0367.14001.
• Nomizu, K.; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
• Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Metric Affine Geometry (Dover edition, first published in 1989 изд.), Dover Publications, ISBN 0-486-66108-3
• Reventós Tarrida, Agustí (2011), „Affine spaces”, Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics, Springer, ISBN 978-0-85729-709-9
• Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry,page 7, Krieger, New York.
• Stolfi, Jorge (1991), Oriented Projective Geometry, Academic Press, ISBN 978-0-12-672025-9
  From original Stanford Ph.D. dissertation, Primitives for Computational Geometry, available as DEC SRC Research Report 36 Архивирано на сајту (17. октобар 2021).
• Smith, Karl (2013), Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, стр. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7
• Cohen, David (2004), Precalculus: A Problems-Oriented Approach (6th изд.), Cengage Learning, стр. 698, ISBN 978-0-534-40212-9
• Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (6th изд.), Cengage Learning, стр. 17, ISBN 978-1-111-80864-8
• Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2014), „3.1.1 The Distance Between Two Points”, Complex Numbers from A to ... Z (2nd изд.), Birkhäuser, стр. 57—58, ISBN 978-0-8176-8415-0
• Tabak, John (2014), Geometry: The Language of Space and Form, Facts on File math library, Infobase Publishing, стр. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0
• Ó Searcóid, Mícheál (2006), „2.7 Distances from Sets to Sets”, Metric Spaces, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, стр. 29—30, ISBN 978-1-84628-627-8
• Ballantine, J. P.; Jerbert, A. R. (април 1952), „Distance from a line, or plane, to a point”, Classroom notes, American Mathematical Monthly, 59 (4): 242—243, JSTOR 2306514, doi:10.2307/2306514CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Bell, Robert J. T. (1914), „49. The shortest distance between two lines”, An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions (2nd изд.), Macmillan, стр. 57—61
• Ivanov, Oleg A. (2013), Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics, Springer, стр. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1
• Strichartz, Robert S. (2000), The Way of Analysis, Jones & Bartlett Learning, стр. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0
• Adam, John A. (2017), „Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays”, Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, стр. 26—27, ISBN 978-1-4008-8540-4, doi:10.1515/9781400885404-004
• Liberti, Leo; Lavor, Carlile (2017), Euclidean Distance Geometry: An Introduction, Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology, Springer, стр. xi, ISBN 978-3-319-60792-4<
• Randolph, Karen A.; Myers, Laura L. (2013), Basic Statistics in Multivariate Analysis, Pocket Guide to Social Work Research Methods, Oxford University Press, стр. 116, ISBN 978-0-19-976404-4
• Csiszár, I. (1975), „I-divergence geometry of probability distributions and minimization problems”, Annals of Probability, 3: 146—158, JSTOR 2959270, MR 365798, doi:10.1214/aop/1176996454
• Moler, Cleve and Donald Morrison (1983), „Replacing Square Roots by Pythagorean Sums” (PDF), IBM Journal of Research and Development, 27 (6): 577—581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651 , doi:10.1147/rd.276.0577
• Spencer, Neil H. (2013), „5.4.5 Squared Euclidean Distances”, Essentials of Multivariate Data Analysis, CRC Press, стр. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2
• Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J. (2000), „Euclidean distance based permutation methods in atmospheric science”, Ур.: Brown, Timothy J.; Mielke, Paul W. Jr., Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences, Springer, стр. 7—27, doi:10.1007/978-1-4757-6581-6_2
• Kaplan, Wilfred (2011), Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality, Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, 51, John Wiley & Sons, стр. 61, ISBN 978-1-118-03104-9
• Alfakih, Abdo Y. (2018), Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory, Springer, стр. 51, ISBN 978-3-319-97846-8

Спољашње везе

• Медији везани за чланак Еуклидов простор на Викимедијиној остави