![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Complex_zeta.jpg/640px-Complex_zeta.jpg&w=640&q=50)
Riemannova funkcija zeta
From Wikipedia, the free encyclopedia
Riemannova funkcija zeta ali Euler-Riemannova funkcija zeta (običajna označba ) je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil specialna funkcija, definirana za vsako kompleksno število s z realnim delom > 1 z neskončno vrsto kot:[1]
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Complex_zeta.jpg/640px-Complex_zeta.jpg)
V območju , ta Dirichletova vrsta konvergira in definira holomorfno funkcijo. (V tem izrazu
pomeni realni del kompleksnega števila.) Bernhard Riemann je ugotovil, da se lahko funkcijo ζ razširi s pomočjo analitičnega nadaljevanja na en sam način v holomorfno funkcijo
, definirano za vsa kompleksna števila s, za katera velja s ≠ 1. Pokazal je naprej kako se razširi funkcija
na vse kompleksne vrednosti s, različne od 1. Tako definirana funkcija postane meromorfna funkcija kompleksne spremenljivke s, ki je holomorfna na območju s ≠ 1 kompleksne ravnine in ima enostavni pol v s = 1:[2]
kjer je Dirichletova funkcija η, definirana kot alternirajoča vrsta:
Tako dobljena funkcija je predmet Riemannove domneve. Kompleksna spremenljivka s je velikokrat napisana v obliki , kjer je
realni del s in
imaginarni del s. Riemann je podal funkcijsko enačbo za funkcijo ζ, ki povezuje vrednosti v s in 1 - s.
Vrednosti Riemannove funkcije ζ za soda pozitivna cela števila je izračunal Euler. Vrednost ζ(2) je rešitev baselskega problema. Leta 1979 je Apéry dokazal iracionalnost vrednosti ζ(3). Vrednosti v negativnih celoštevilskih točkah, ki jih je tudi našel Euler, so racionalne in so pomembne v teoriji modularnih form. Znanih je več posplošitev Riemannove funkcije ζ, kot na primer Dirichletove vrste, Dirichletove L-funkcije (Dirichletova funkcija β, Dirichletova funkcija η, Dirichletova funkcija λ), Hurwitzeva funkcija ζ in L-funkcije.