![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/DirichletEta.png/640px-DirichletEta.png&w=640&q=50)
Dirichletova funkcija eta
From Wikipedia, the free encyclopedia
Dirichletova funkcija eta (običajna označba ) je v matematiki in še posebej v analitični teoriji števil specialna funkcija definirana kot Dirichletova vrsta, ki konvergira za vsako kompleksno število z realnim delom večjim od 0:
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/DirichletEta.png/320px-DirichletEta.png)
Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu. Ta Dirichletova vrsta je alternirajoča vsota, ki odgovarja razvoju Riemannove funkcije ζ(s) v Dirichletovo vrsto. Zaradi tega je Dirichletova funkcija η znana tudi kot alternirajoča funkcija zeta, označena tudi kot .[2] Velja naslednja preprosta zveza:
Čeprav razvoj Dirichletove funkcije η v Dirichletovo vrsto konvergira le za vsako kompleksno število s z realnim delom večjim od 0, njegova Abelova vsota obstaja za poljubno kompleksno število. Zaradi tega se lahko Dirichletova funkcija η definira kot cela funkcija. Zgornja zveza tako kaže, da je Riemannova funkcija ζ meromorfna z enostavnim polom v točki s = 1 in morda v polih v drugih ničlah s faktorjem .
Enakovredno se lahko definira:
kjer je Γ(s) funkcija Γ. Tako določena funkcija je definirana tudi v območju pozitivnega realnega dela. To da Dirichletovo funkcijo η kot Mellinova transformacija.
Hardy je dal preprost dokaz funkcijske enačbe za Dirichletovo funkcijo η:
Od tod neposredno izhaja tudi funkcijska enačba za Riemannovo funkcijo ζ, kakor tudi drug način za razširitev definicije Dirichletove funkcije η na celotno kompleksno ravnino.