Bernhard Riemann

Georg Friedrich Bernhard Riemann (17.9. 1826. - 20.7. 1866.) je njemački matematičar koji je dao značajan doprinos razvoju analize i diferencijalne geometrije. Neka od njegovih otkrića su utrla put kasnijoj teoriji opće relativnosti.

Riemann je rođen u Breselenzu, selu pokraj Dannenberga u Kraljevini Hannover, u danjašnjoj Njemačkoj. Njegov otac, Friedrich Bernhard Riemann ja bio siromašan luteranski pastor u Breselenzu koji se borio u Napoleonskim ratovima. Georgova majka je umrla prije nogu što su njezina djeca odrasla. Bernhard je bio drugo od šestoro djece. Bio je sramežljivo dijete i patio od brojnih živčanih slomova. Od vrlo mladih dana je Riemann pokazao izvaredne numeričke vještine, ali je patio od povučenosti i straha od javnih istupa.

U srednjoj školi Riemann se bavio proučavanjem Biblije, ali se stalno okretao matematici; čak je pokušavao matematički dokazati ispravnost Knjige Postanka. Njegovi učitelji su bili iznenađeni njegovim sposobnostima; često je nadmašivao znanje predavača. 1840. Riemann odlazi živjeti kod bake u Hannover, a nakon njene smrti 1842. odlazi u Johanneum u Lüneburg. S 19 godina, 1846. počinje studij filologije i teologije, s namjerom da postane svećenik.

Godine 1847. njegov otac skuplja dovoljno novca za sveučilište, te Riemann prekida studij teologije i započinje studij matematike na cijenjenom sveučilištu u Göttingenu, gdje sreće Gaussa, i pohađa njegova predavanja o metodi najmanjih kvadrata. Iste godine odlazi u Berlin, gdje ostaje dvije godine, a potom se vraća u Göttingen.

Prvo predavanje je održao 1854., kojim je uveo polje Riemannove geometrije. Nakon Dirichletove smrti 1859. promoviran je za pročelnika matemetičkog odjela u Göttingenu.

Godine 1862. se oženio Elisom Koch i dobio kćer.

Umro je od tuberkuloze na trećem putu u Italiju u Selaski (blizu jezera Maggiore).

Teorija brojeva

Riemann je objavio jedan jedini rad u teoriji brojeva (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe), u kojem je uveo zeta-funkciju koju je povezao s raspodjelom prim-brojeva, a sadrži dosad neriješenu Riemannovu hipotezu:

sve ne trivijalne nultočke zeta-funkcije imaju realni dio 1/2

Može se pokazati da je to ekvivalentno sljedećoj tvrdnji:

za svaki ε > 0, vrijedi

\left|\pi (x)-\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(t)}}\right|=O(x^{1/2+\varepsilon })

gdje je π(x) funkcija raspodjele primbrojeva.

Tisuće ljudi su pokušavale dokazati ili opovrgnuti Riemannovu hipotezu. Trenutno se zajedno s Goldbachovom slutnjom ona smatra najvećim neriješenim problemom matematike.

Geometrija

Riemannova geometrija je poopćenje Gaussove diferencijalne geometrije s 2 na n dimenzija; glavna ideja je da za svaku točku u n-dimenzonalnom prostoru postoji n×n tenzor zakrivljenosti (tzv. riemannov tenzor) g_ij.

Može se pokazati da je tenzor zakrivljenosti simetričan. Riemannova teorija ne pretpostavlja neke dalje dimenzije u kojima bi promatrani n-dimenzionalni prostor bio zakrivljen. Ova teorija je našla primjenu u općoj teoriji relativnosti.

Naprimjer, udaljenost između 2 točke a i b u riemannovom prostoru je:

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt\

gdje je (x¹(t), ..., xⁿ(t)) putanja između točaka u lokalnom koordinatnom sustavu.