Loading AI tools
число, квадрат которого отрицательное число Из Википедии, свободной энциклопедии
Чи́сто мни́мое число́ — комплексное число с нулевой действительной частью. Иногда только такие числа называются мнимыми числами, но этот термин также используется для обозначения произвольных комплексных чисел с ненулевой мнимой частью[1]. Термин «мнимое число» предложил в XVII веке французский математик Рене Декарт[2], изначально этот термин носил уничижительный смысл, поскольку такие числа считались вымышленными или бесполезными, и лишь после работ Леонарда Эйлера и Карла Гаусса это понятие получило признание в научном сообществе.
... (выделенный фрагмент повторяется бесконечно) |
i−3 = i |
i−2 = −1 |
i−1 = −i |
i0 = 1 |
i1 = i |
i2 = −1 |
i3 = −i |
i4 = 1 |
i5 = i |
i6 = −1 |
in = im где m ≡ n mod 4 |
Пусть — комплексное число, где и — действительные числа. Числа или и или называются соответственно действительной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями .
Впервые мнимые числа упоминает в своих трудах древнегреческий математик и инженер Герон Александрийский[3][4], но правила осуществления арифметических операций (в частности, умножения) над ними ввёл Рафаэль Бомбелли в 1572 году. Концепция Бомбелли появилась раньше аналогичных работ Джероламо Кардано. В XVI—XVII веках мнимые числа рассматривались большей частью научного сообщества как фиктивные или бесполезные (аналогично тому, как воспринималось в свое время понятие нуля). В частности, Рене Декарт, упоминая о мнимых числах в своём фундаментальном труде «Геометрия», использовал термин «мнимый» в уничижительном смысле[5][6]. Использование мнимых чисел не было широко распространено до появления работ Леонарда Эйлера (1707—1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777—1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745—1818)[7].
В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон расширил идею оси мнимых чисел на плоскости до четырёхмерного пространства кватернионов, в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.
С развитием в теории факторколец концепции кольца многочленов понятие мнимого числа стало более содержательным и получило дальнейшее развитие в понятии j — бикомплексных чисел[англ.], у которых квадрат равен +1. Эта идея появилась в статье английского математика Джеймса Кокла[англ.] 1848 года[8].
На плоскости комплексных чисел мнимые числа находятся на вертикальной оси, перпендикулярной оси действительных чисел. Один из способов геометрической интерпретации мнимых чисел — рассмотреть стандартную числовую ось, где положительные числа находятся справа, а отрицательные — слева. Через точку 0 на оси x может быть проведена ось y с «положительным» направлением, идущим вверх; «положительные» мнимые числа увеличиваются по величине вверх, а «отрицательные» мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эта вертикальная ось часто называется «мнимой осью» и обозначается iℝ,, или ℑ.
В этом представлении умножение на –1 соответствует повороту на 180 градусов относительно начала координат. Умножение на i соответствует повороту на 90 градусов в «положительном» направлении (то есть против часовой стрелки), а уравнение i2 = −1 интерпретируется как говорящее о том, что если мы применим два поворота на 90 градусов относительно начала координат, результатом будет один поворот на 180 градусов. При этом поворот на 90 градусов в «отрицательном» направлении (то есть по часовой стрелке) также удовлетворяет этой интерпретации. Это отражает тот факт, что −i также является решением уравнения x2 = −1. Как правило, умножение на комплексное число аналогично вращению вокруг начала координат аргумента[англ.] комплексного числа с последующим масштабированием по его величине.
Необходимо соблюдать осторожность при работе с мнимыми числами, являющимися главными значениями[англ.] квадратных корней отрицательных чисел. Например, такой математический софизм: [9]
Иногда это записывается так:
Подобный математический софизм возникает в случае, когда в равенстве переменные не имеют соответствующих ограничений. В этом случае равенство не выполняется, так как оба числа отрицательны. Это можно показать как
где и x и y — неотрицательные действительные числа.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.