Ноль

У этого термина существуют и другие значения, см. Ноль (значения).

Символы со сходным начертанием: O · o · Ο · ο · О · о · Օ · օ · ‏ס‏‎ · ‏ه‏‎ · ዐ · ഠ · ဝ · ㅇ · ᴑ · ଠ · Ჿ · ჿ

Ноль (0, нуль от лат. nullus — никакой^[2]) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее^[3], то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль^[4].

0
ноль
← −2 · −1 · 0 · 1 · 2 →
Двоичное	0
Восьмеричное	0
Шестнадцатеричное	0
Медиафайлы на Викискладе

• «Существуют две формы: ноль и нуль. В терминологическом значении (особенно в косвенных падежах) обычно используется вторая, например: равняется нулю, температура держится на нуле»^[1].
• «…производное прилагательное обычно образуется от формы нуль, например: нулевой меридиан, нулевая отметка»^[1].

Большой толковый словарь Кузнецова (2009)^[5] приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).

Ноль играет исключительно важную роль в математике и физике^[6].

Ноль в математике

Цифра «ноль» в математике

Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0» (по индо-арабской записи цифр). Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления, умножает на десять). Сравните, например, числа 4₁₀ и 40₁₀; 4₁₆ и 40₁₆ (нижний индекс означает основание системы счисления). Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи ${\displaystyle 7,70,700.}$

С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.

В десятичной системе счисления:

• Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
• Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например:

• Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
• Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием ${\displaystyle k}$ число делится на ${\displaystyle k^{n}}$, если оно оканчивается на ${\displaystyle n}$ нулей.

Число «ноль» в математике

Принадлежность к натуральным числам

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам^[7], другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль^[8].

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения^[9]:

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$ — натуральные числа, включая ноль: ${\displaystyle \{0,1,2,3,4\dots \}}$.
• ${\displaystyle \mathbb {N^{*}} }$ — натуральные числа без нуля: ${\displaystyle \{1,2,3,4\dots \}}$.

Такие же, как в ISO, обозначения для множества натуральных чисел закреплены в российском ГОСТ 2011 года: Р 54521-2011, таблица 6.1^[10]. Тем не менее в русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, ${\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{0}}$ и т. д.^[8]

Основные свойства нуля

• 0 — целое число.
• На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.

Отрицательные числа (красным) на числовой оси

• Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: ${\displaystyle 0/2=0}$.
• Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины: ${\displaystyle -0}$, ${\displaystyle +0}$, однако это не числа в обычном смысле.
• Любое число при сложении с нулём не меняется: ${\displaystyle a+0=0+a=a.}$ При вычитании нуля из любого числа получается то же число^[11]: ${\displaystyle a-0=a}$.
• Умножение любого числа на ноль даёт ноль^[11]:

${\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0.}$

• При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:

${\displaystyle 0/a=0}$ при ${\displaystyle a\neq 0.}$

Деление на ноль

• Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.

В самом деле, если обозначить ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=b}$, то по определению деления формально должно быть ${\displaystyle b\cdot 0=a}$, в то время как выражение ${\displaystyle b\cdot 0}$, при любом ${\displaystyle b}$, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.

• Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.

Значения отдельных функций

• Факториал нуля по соглашению^[12] принят равным единице: ${\displaystyle 0!=1}$. При таком соглашении тождество ${\displaystyle n!=(n-1)!\cdot n}$ будет верно и при ${\displaystyle n=1.}$
• Результат возведения нуля в любую положительную степень равен нулю: ${\displaystyle 0^{a}=0}$ при ${\displaystyle a>0}$. Возведение нуля в любую отрицательную степень не имеет смысла.
• Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: ${\displaystyle a^{0}=1}$.
  • Одни авторы считают выражение ${\displaystyle 0^{0}}$ (ноль в нулевой степени) неопределённым (лишённым смысла)^[13][14][15], другие принимают ${\displaystyle 0^{0}=1}$.

Связано это с тем, что функция двух переменных ${\displaystyle x^{y}}$ в точке ${\displaystyle \{0,0\}}$ имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси ${\displaystyle X,}$ где ${\displaystyle y=0,}$ она равна единице, а вдоль положительного направления оси ${\displaystyle Y,}$ где ${\displaystyle x=0,}$ она равна нулю.

В то же время, функция одной переменной ${\displaystyle x^{0}}$ имеет в точке ${\displaystyle x=0}$ устранимый разрыв (она равна единице во всех остальных точках) и может быть доопределена по непрерывности.

См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.

Ноль в геометрии

• Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
• Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси (с нулевой абсциссой — на оси ординат; с нулевой ординатой — на оси абсцисс). Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
• Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости, с двумя — на координатной оси. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые.
• Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
• На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе

• При вычислении предела отношения ${\displaystyle (a/b)}$, где ${\displaystyle a\rightarrow 0}$ и ${\displaystyle b\rightarrow 0}$, возникает такая ситуация, что непосредственная подстановка даёт выражение ${\displaystyle (0/0)}$, значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: ${\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}$, ${\displaystyle (0^{0})}$, ${\displaystyle (\infty ^{0})}$, ${\displaystyle (0\cdot \infty )}$.
• Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:

• Правый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty ,}$ _ или _ ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} +0}]{}}~{+\infty }}$.
• Левый предел: ${\displaystyle \lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty ,}$ _ или _ ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x\xrightarrow {} -0}]{}}~{-\infty }}$.

Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера ${\displaystyle n\times n}$ является нулевым элементом кольца квадратных матриц ${\displaystyle M_{n}(R)}$. Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, ${\displaystyle p(x)\equiv 0}$.

Ноль в информатике и вычислительной технике

Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике

Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод.

Пометки нулей, чтобы не путать их с буквой О

При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру 0 с латинской или русской буквой О, что может вызвать серьёзные последствия, одно время действовала рекомендация^[16] нуль перечёркивать^[англ.]: ${\displaystyle \emptyset }$. Иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву О, а не нуль^[17]. Знакогенераторы многих текстовых терминалов, видеоадаптеров и матричных принтеров при работе в текстовом режиме также выводят нуль в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля)^[18][19]. На дисплеях IBM 3270 цифра 0 изображалась с точкой в центре. Визуальное различие цифры 0 от буквы О остаётся важным требованием к моноширинным шрифтам. В пропорциональных шрифтах буква О заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.

Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Иногда взамен используются сходные по виду значки скандинавской буквы (Ø), пустого множества (∅) или диаметра (⌀). Некоторые шрифты OpenType включают специальную опцию перечёркивания нуля, для чего в CSS имеется специальная опция font-feature-settings: zero.

Число «ноль» в информатике и вычислительной технике

В компьютерах существует понятие «машинного нуля» — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.

Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает .массив ${\displaystyle M_{0},M_{1}\dots M_{n-1}.}$ Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic, который изначально использовал нумерацию с единицы.

В SQL-базах данных поле может иметь специальное значение NULL, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.

В математике ${\displaystyle -0=+0=0}$; то есть ${\displaystyle -0,+0}$ представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754 или в прямом и обратном коде) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование). На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.

Десятичное представление	Двоичное представление (8 бит)
	прямой	обратный	дополнительный
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111

История использования нуля

См. также: Развитие числовой системы в исламском мире

История цифры 0

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.

Древний Восток

Вавилонские математики использовали для индикации шестидесятеричного нуля вначале пропуск, а затем — особый клинописный значок «двойной клин»; предполагается, что последний значок вавилоняне использовали начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не имел самостоятельного значения и воспринимался не как цифра, а как отсутствие цифры; более того, он никогда не ставился в конце записи числа, так что, скажем, числа 2 и 120 (2×60) приходилось различать по контексту^[20][21].

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.

Майя и инки

Пустая раковина — один из знаков нуля в системе счисления майя

Империя Майя существовала на полуострове Юкатан в период примерно с 300 года до н. э. по 900 год н. э. Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев, однако только жрецами и только для календарных нужд (в повседневной жизни майя использовали иероглифическую пятеричную систему)^[22]. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль, то есть 8 декабря 36 года до н. э.

Любопытно, что тем же знаком математики майя обозначали и бесконечность, так как он означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину»^[23]. Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау.

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch'usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»), но какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

Индия

В Индии цифра «ноль» именовалась санскритским словом śūnyaḥ («пустота»; «отсутствие») и широко использовалась в поэзии и священных текстах. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый символ для нуля обнаружен в индийском «манускрипте Бакхшали» от 876 г. н. э., он имеет вид жирной точки или закрашенного кружка, названного впоследствии śūnya-binduḥ «точка пустоты»^[24][25].

От индийцев через арабов, называвших цифру 0 ṣifr (отсюда слова цифра, шифр, и итал. zero, ноль), она попала в Западную Европу^[26].

Европа

В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе (Стамбуле), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой^[27]. В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля (0) называется кружком — circulus. В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско, написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, или тека, или кружок, или цифра, или знак ничего. Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов c XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478)^[28].

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

Россия

Леонтий Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой о^[29].

История числа «ноль»

Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали вместо неё иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц^[30].

В китайских записях чисел цифра «нуль» также отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из «иероглифов императрицы У Цзэтянь».

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

См. также

• Отрицательный и положительный ноль
• Ничто

Примечания

1. Д. Э. Розенталь. Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию. Глава X. Правописание имен числительных. Архивная копия от 12 января 2015 на Wayback Machine М.: ЧеРо, 1999.
2. Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
3. Нуль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1082.
4. Нуль // Большой Энциклопедический словарь (рус.). — 2000.
5. Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.

6. Самая важная цифра есть нуль. Это была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.

   — Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматлит, 1959. — С. 77.

7. Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. The historical roots of elementary mathematics (англ.). — Courier Dover Publications, 1976. — P. 254—255. — ISBN 0-486-13968-9. Архивировано 22 января 2023 года., Extract of pages 254—255 Архивная копия от 10 мая 2016 на Wayback Machine
8. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1981. — С. 9. — 560 с.
9. International standard 80000-2:2009. Part 2  (неопр.). NCSU COE People. Дата обращения: 12 августа 2019. Архивировано 28 февраля 2019 года.
10. ГОСТ Р 54521-2011 Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах (Переиздание) от 24 ноября 2011 - docs.cntd.ru  (неопр.). docs.cntd.ru. Дата обращения: 14 января 2022. Архивировано 9 июля 2021 года.
11. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М.: «Педагогика», 1989. — С. 219.
12. Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений / Под ред. С. А. Степанова. — 3-е изд. — М.: Наука, 1983. — С. 415. — 480 с.
13. Что такое степень числа Архивная копия от 28 июля 2021 на Wayback Machine // Школьная математика, интернет-ресурс.
14. Почему число в степени 0 равно 1? Архивная копия от 2 апреля 2015 на Wayback Machine // Науколандия, интернет-ресурс.
15. Степенная функция Архивная копия от 2 апреля 2015 на Wayback Machine // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.
16. Брич З. С., Воюш В. И., Дегтярёва Г. С., Ковалевич Э. В. Программирование на языке Ассемблера ЕС ЭВМ. — М.: Статистика, 1976. — 296 с. — С. 13—14, 19.
17. Кулаковская В. П., Романовская Л. М., Савченко Т. А., Фельдман Л. С. Кобол ЭВМ Минск-32. Пособие для работников вычислительных центров. — М.: Статистика, 1973. — 284 с.
18. Брябрин В. М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. 3-е изд. — М.: Наука, 1990. — 272 с. — ISBN 5-02-014824-5. — С. 17, 113—114.
19. Смирнов Н. Н. Программные средства персональных ЭВМ. — Л.: Машиностроение, 1990. — 272 с. — ISBN 5-217-00029-5. — С. 13, 80—81.
20. Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 116. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
21. Lamb, Evelyn (August 31, 2014), "Look, Ma, No Zero!", Scientific American, Roots of Unity, Архивировано из оригинала 17 октября 2014, Дата обращения: 18 марта 2021
22. Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. — С. 469—470. — 543 с. — ISBN 9785952449787.
23. Лаура Лауренсич-Минелли. Любопытное понятие мезоамериканского и андского «нуля предметного» и логика инкских богов-чисел  (неопр.). Архивировано 23 июля 2012 года.
24. Суета вокруг нуля  (неопр.). Дата обращения: 19 сентября 2017. Архивировано 20 сентября 2017 года.
25. Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol (англ.). The Guardian (14 сентября 2017). Дата обращения: 19 сентября 2017. Архивировано 20 ноября 2017 года.
26. Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 115. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
27. «Zentralblatt für Mathematik», апрель, 1957, сообщение чешского историка математики Г. Феттера.
28. Депман, 1965, с. 89.
29. Депман, 1965, с. 90.
30. Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Third Edition) (англ.). — Princeton University Press, 2011. — P. 86. — ISBN 978-0-691-13526-7.

Литература

• Депман И. Я. История арифметики. — издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 417 с.
• Ламберто Гарсия дель Сид. Первые натуральные числа и их значение → 0 — двусмысленное число // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 14—15. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
• Нуль // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 219. — 352 с.
• Сейфе, Чарльз. Ноль. Биография опасной идеи = Zero: The Biography of a Dangerous Idea. — Neoclassic, АСТ, 2014. — 288 с. — ISBN 978-5-17-083294-1.
• Kaplan, Robert. The nothing that is. A Natural History of Zero. — Oxford: Oxford University Press, 2000. — 226 с. — ISBN 0-19-512842-7.
• Wells, David. 0 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Penguin Books, 1986. — С. 23—26. — 229 с. — ISBN 0-14-008029-5.

Ссылки

• История нуля
• Почему нельзя делить на ноль?
• Символика чисел (нуль) /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
• О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто» Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
• Свойства числа ноль
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. A history of Zero  (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (ноябрь 2000).