Нейтральный элемент

Запрос «Единичный элемент» перенаправляется сюда; про элемент «1» в кольцах и алгебрах см. единица (алгебра).

Нейтра́льный элеме́нт бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение

Пусть ${\displaystyle (M,\cdot )}$ — множество ${\displaystyle M}$ с определённой на нём бинарной операцией «${\displaystyle \cdot }$». Элемент ${\displaystyle e\in M}$ называется нейтральным относительно ${\displaystyle \cdot }$ (умножения), если

${\displaystyle x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M}$.

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, для которого

${\displaystyle e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M}$,

и правый нейтральный элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, для которого

${\displaystyle x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M}$.

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {l} }}$, и нейтральный справа элемент ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }}$, то они обязаны совпадать (так как ${\displaystyle e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }\cdot e_{\mathrm {r} }=e_{\mathrm {l} }}$).

Примеры

Множество	Бинарная операция	Нейтральный элемент
Вещественные числа	${\displaystyle +}$ (сложение)	число 0
Вещественные числа	${\displaystyle \cdot }$ (умножение)	число 1
Вещественные числа	${\displaystyle -}$ (вычитание)	число 0 (нейтральный справа)
Вещественные числа	${\displaystyle a^{b}}$ (возведение в степень)	число 1 (нейтральный справа)
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \div }$ (деление)	число 1 (нейтральный справа)
Векторное пространство	${\displaystyle +}$ (сложение векторов)	${\displaystyle {\vec {0}}}$ (нуль-вектор)
Матрицы размера ${\displaystyle m\times n}$	${\displaystyle +}$ (матричное сложение)	нулевая матрица
Матрицы размера ${\displaystyle n\times n}$	${\displaystyle \times }$ (матричное произведение)	единичная матрица
Функции вида ${\displaystyle f:M\to M}$	${\displaystyle \circ }$ (композиция функций)	тождественное отображение
Символьные строки	конкатенация	пустая строка
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \min }$ (минимум) или ${\displaystyle \inf }$ (инфимум)	${\displaystyle +\infty }$
Расширенная числовая прямая	${\displaystyle \max }$ (максимум) или ${\displaystyle \sup }$ (супремум)	${\displaystyle -\infty }$
Подмножества множества ${\displaystyle M}$	${\displaystyle \cap }$ (пересечение множеств)	${\displaystyle M}$
Множества	${\displaystyle \cup }$ (объединение множеств)	${\displaystyle \varnothing }$ (пустое множество)
Исчисление высказываний	${\displaystyle \wedge }$ (конъюнкция)	${\displaystyle \top }$ (истина)
Исчисление высказываний	${\displaystyle \lor }$ (дизъюнкция)	${\displaystyle \bot }$ (ложь)

Терминология

В алгебре

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но, обычно, и групповую операцию в абелевых группах в аддитивной нотации.

В теории решёток

В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».

См. также

• Поглощающий элемент (математика)^[англ.]
• Обратный элемент
• Моноид
• Группа

Ссылки

• Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с. стр 77 "Нейтральные элементы"
• http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity  (рус.)
• http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html  (рус.)
• https://brilliant.org/wiki/identity-element/  (англ.)
• Weisstein, Eric W. "Identity Element." From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)