Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел.
Термин был предложен Артином в 1927 г.
Пусть
— алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение
(меньше или равно) со следующими свойствами:
- Рефлексивность:
.
- Транзитивность: если
и
, то
.
- Антисимметричность: если
и
, то
.
- Линейность: все элементы
сравнимы между собой, то есть либо
, либо
.
Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:
- Если
, то для любого z:
.
- Если
и
, то
.
Если все 6 аксиом выполнены, то поле
называется упорядоченным.
Связанные определения
- Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
- Отношение больше или равно:
означает, что
.
- Отношение больше:
означает, что
и
.
- Отношение меньше:
означает, что
.
- Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
- Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину
элемента
как
.
- Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если
положителен, то
отрицателен, и наоборот.
- В любом упорядоченном поле
и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
- Однотипные неравенства можно складывать:
- Если
и
, то
.
- Неравенства можно умножать на положительные элементы:
- Если
и
, то
.
- Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
- Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
- Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда оно вещественно, то есть
не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
- Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
- Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым[2]. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел
; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей
.
- Любое упорядоченное поле может быть вложено в упорядоченное поле сюрреальных чисел с сохранением порядка.
- Рациональные числа
- Вещественные числа
- Вещественные алгебраические числа
- Любое вещественно замкнутое поле
- Поле вещественных рациональных функций:
, где
— многочлены,
. Упорядочим его следующим образом.
- Пусть
Будем считать, что функция
, если
. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
- Из определения вытекает, что многочлен
больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби)
, для которых[3]
.
- Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
- Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле
, порождённое добавлением к полю рациональных чисел
числа
— одного из комплексных корней многочлена
. Данное поле изоморфно вещественному полю
, поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок[3]
- Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
- Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
- Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..