Антисимметричное отношение

В математике бинарное отношение ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$ называется антисимметричным, если для каждой пары элементов множества ${\displaystyle a,b}$ выполнение отношений ${\displaystyle aRb}$ и ${\displaystyle bRa}$ влечёт ${\displaystyle a=b}$, или, то же самое, выполнение отношений ${\displaystyle aRb}$ и ${\displaystyle bRa}$ возможно только для равных ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$. Формально, отношение ${\displaystyle R}$ антисимметрично, если ${\displaystyle \forall a,b\in X,\ aRb\land bRa\Rightarrow a=b}$.

Не следует путать антисимметричное и асимметричное отношения. Бинарное отношение ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$ называется асимметричным, если для каждой пары элементов множества ${\displaystyle a,b}$ из ${\displaystyle X}$ одновременное выполнение отношений ${\displaystyle aRb}$ и ${\displaystyle bRa}$ невозможно. Формальная запись: отношение ${\displaystyle R}$ асимметрично, если ${\displaystyle \forall a,b\in X,\ aRb\Rightarrow \neg (bRa)}$.

Если в матрице, полученной в результате поэлементного умножения обычной и транспонированной матриц отношения, все элементы вне главной диагонали равны нулю, то отношение является антисимметричным.

См. также

• Симметричность