Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества (то есть биекций ) относительно операции композиции.
Симметрическая группа множества обычно обозначается . Если , то также обозначается через . Поскольку для равномощных множеств () изоморфны и их группы перестановок (), то для конечной группы порядка группу её перестановок отождествляют с .
Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка .
Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества называют подгруппы симметрической группы [1]. Степенью группы в таком случае называется мощность .
Каждая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе группы (теорема Кэли).
Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: . При симметрическая группа некоммутативна.
Симметрическая группа допускает следующее задание:
Можно считать, что переставляет и . Максимальный порядок элементов группы — функция Ландау.
Группы разрешимы, при симметрическая группа является неразрешимой.
Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае группа имеет ещё один внешний автоморфизм[англ.]. В силу этого и предыдущего свойства при все автоморфизмы являются внутренними, то есть каждый автоморфизм имеет вид для некоторого .
Число классов сопряжённых элементов симметрической группы равно числу разбиений числа [2]. Множество транспозиций является порождающим множеством . С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками , так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
Центр симметрической группы тривиален при . Коммутантом является знакопеременная группа ; причём при — единственная нетривиальная нормальная подгруппа , а имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.
Любая подгруппа группы перестановок представима группой матриц из , при этом каждой перестановке соответствует перестановочная матрица (матрица, у которой все элементы в ячейках равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка представляется следующей матрицей :
Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе .
Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна , а группа вращений куба изоморфна .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.