Группа вращений

Группа вращений (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц ${\displaystyle 3\times 3}$ с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$).

Свойства

• Все группы вращений ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$, в том числе ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ и ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$, являются группами Ли.
• Группы вращений ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ и вообще ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ при ${\displaystyle n>2}$ некоммутативны.
• Группа ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором ${\displaystyle v}$), проходящей через центр координат, и углом ${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi ]}$. Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор ${\displaystyle \varphi v}$ и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса ${\displaystyle \pi }$. Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle -\pi }$ соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
• Универсальная накрывающая группы ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ является специальной унитарной группой ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$, или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.

Вариации и обобщения

Иногда группами вращений называют специальную ортогональную группу ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ — группу вращения ${\displaystyle n}$-мерного евклидова пространства. Особым случай является группа вращений плоскости ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ или U(1); в отличие от случая вращения трёхмерного пространства, она является коммутативной.

См. также

• Угловой момент
• Углы Эйлера
• Твёрдое тело

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Богопольский О. В. Введение в теорию групп. — М.: Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. — 148 с. — ISBN 5-93972-165-6.