Правильный пятиугольник

Иное название этого понятия — «Пентагон»; см. также другие значения.

Правильный пятиугольник (или пентагон от греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Пятиугольник
Правильный пятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	5
Символ Шлефли	{5}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D5)
Площадь	${\displaystyle {\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}=}$ ${\displaystyle {\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$
Внутренний угол	108°
Свойства
выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный[англ.], изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Свойства

• Угол ${\displaystyle \alpha }$ у правильного пятиугольника (из формулы для всех правильных многоугольников ${\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }}$, где n — количество сторон мноугольника):

${\displaystyle \alpha ={\frac {5-2}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }}$

• Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

${\displaystyle S={\frac {5}{4}}t^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{5}}={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={\frac {5}{12}}Rd={\frac {5}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{5}}=5r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{5}}}$,

где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности, ${\displaystyle d}$ — диагональ, ${\displaystyle t}$ — сторона.

• Высота правильного пятиугольника:

${\displaystyle h={\frac {\operatorname {tg} \,72^{\circ }}{2}}t={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}t\approx 1{,}5388417685876268t}$

• Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
• Отношение диагонали ${\displaystyle d}$ правильного пятиугольника к стороне ${\displaystyle t}$ равно «золотому сечению», то есть числу ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

• Сторона:

${\displaystyle t=R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1{,}1755705045849463~R}$

• Радиус вписанной окружности:

${\displaystyle r={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{10}}t\approx 0{,}6881909602355869~t}$

• Радиус описанной окружности:

${\displaystyle R={\frac {{\sqrt {1}}0{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{10}}t\approx 0{,}85065080835204~t}$

• Диагональ:

${\displaystyle d={\sqrt {\Phi {\sqrt {5}}}}R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t\approx 1{,}9021130325903073~R\approx 1{,}618033988749895~t}$

• Площадь:

${\displaystyle S={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}\approx 1{,}7204774005889671~t^{2}}$

• Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
• Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

${\displaystyle {\frac {S}{s}}=\Phi ^{4}=3\Phi +2={\frac {3{\sqrt {5}}+7}{2}}\approx 6{,}854101966249685}$

где ${\displaystyle \Phi }$ — отношение золотого сечения.

Построение

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
4. Постройте точку C посередине между O и B.
5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

• Построение правильного пятиугольника
• 
  Построение правильного пятиугольника
• 
  Построение правильного пятиугольника
• 
  Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Узел из полоски бумаги, образующий пятиугольник

В природе

В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника, но исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.^[1] Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская. Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

• 
  Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией
• 
  Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская

Интересные факты

Здание Министерства обороны США, известное как Пентагон

• Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники^[2].
• Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость^[3].
• Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного пятиячейника (4-симплекса).
• Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

См. также

• Золотое сечение
• Пятиугольник
• Пентаэдр
• Пентаграмма
• Государственный знак качества СССР

Примечания

1. A one-dimensional ice structure built from pentagons. Nature Materials. 8 March 2009 Архивная копия от 22 апреля 2009 на Wayback Machine (англ.)
2. Jayadev S. Athreya, David Aulicino, W. Patrick Hooper, with an appendix by Anja Randecker. Platonic Solids and High Genus Covers of Lattice Surfaces (англ.) // Experimental Mathematics. — 2022-07-03. — Vol. 31, iss. 3. — P. 847–877. — ISSN 1058-6458. — doi:10.1080/10586458.2020.1712564.
3. Weisstein, Eric W. Pentagon Tiling (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 29 августа 2024.