Равносторонний многоугольник

многоугольник, у которого все стороны равны Из Википедии, свободной энциклопедии

Равносторонний многоугольник

Равносторо́нний многоуго́льник — многоугольник, у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют внутренние углы[англ.] 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб, и квадрат является частным случаем ромба.

Thumb
Выпуклый равносторонний многоугольник
Thumb
Невыпуклый равносторонний многоугольник
Thumb
Равносторонний треугольник, всегда является правильным треугольником
Thumb
Равносторонний четырёхугольник (ромб)

Свойства

Суммиров вкратце
Перспектива

Равносторонний многоугольник, который также и равноуголен является правильным многоугольником.

Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность (его вершины лежат на окружности) является правильным многоугольником (то есть многоугольником, одновременно и равносторонним, и равноугольным).

Описанный многоугольник (у которого существует окружность, касающаяся всех его сторон) является равносторонним в том и только в том случае, когда углы через один равны (то есть, при последовательной нумерации углов углы с номерами 1, 3, 5, … равны и углы 2, 4, … равны). Таким образом, если  — нечётно, описанный многоугольник является равносторонним в том и только в том случае, когда он правильный[1].

Все равносторонние четырёхугольники выпуклы[англ.], но существуют вогнутые[англ.] равносторонние пятиугольники, как и выпуклые равносторонние многоугольники с большим числом сторон.

Каждая главная диагональ шестиугольника делит его на четырёхугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной существует[2] главная диагональ , такая что:

,

и главная диагональ , такая, что:

.

Существует конечная последовательность элементарных отражений, переводящих любой равносторонний многоугольник в правильный[3][4].

Теорема Вивиани

Теорема Вивиани в части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до каждой из сторон обобщается для равносторонних многоугольников[5]. Действительно, представив стороны многоугольника в виде векторов , притом выбрав направления так, чтобы конец одного вектора был началом другого, сумма этих векторов равна нулю, а следовательно:

, .

Без умаления общности можно считать, что все длины векторов равны 1. Повернув все векторы на 90° в одном направлении, получатся векторы , и все они будут нормалями к сторонам. Уравнение прямой, проходящей через сторону будет задаваться уравнением . Поскольку длина вектора равна единице, расстояние до прямой от любой точки плоскости будет равно (расстояние может быть отрицательным — зависит от того, в какой полуплоскости лежит точка), а сумма расстояний равна , то есть, не зависит от положения точки.

Площадь и периметр равносторонних многоугольников

  • Если нечётно, то правильный -угольник единичного диаметра даёт максимальную возможную площадь и периметр[6].
  • Правильный -угольник является единственным решением в задаче нахождения максимальной площади фигуры единичного диаметра, если нечётно, но в задаче нахождения максимального периода при нечётном решение единственно только для простых .
  • Если чётно и , то правильный -угольник единичного диаметра не даёт ни максимальной площади, ни максимального периметра.
  • Если имеет нечётный делитель, то любой многоугольник с максимальным периметром является равносторонним.

См. также

  • Равносторонний пятиугольник[англ.]

Примечания

Ссылки

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.