![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Torus-spir.svg/langru-640px-Torus-spir.svg.png&w=640&q=50)
Кривая Персея
плоская алгебраическая кривая 4-го порядка / Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Кривая Персея (спирическое сечение, спирическая линия, от др.-греч. σπειρα — тор[1]) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов[2].
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Torus-spir.svg/320px-Torus-spir.svg.png)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Spiric_section.svg/320px-Spiric_section.svg.png)
Впервые этот подкласс торических сечений изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений Менехмом[3]. Переоткрыты в XVII веке[2]; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.
Уравнение кривой в декартовой системе координат:
,
в ней — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом
образован тор. При
кривая состоит из двух окружностей радиуса
с центрами
; при
кривая вырождается в точку — начало координат, если же
— то кривая состоит из пустого множества точек[3].
Если ввести новые параметры: ,
и
, то возникает другая форма уравнения[4]:
.
Также можно определить кривую Персея как бициркулярную кривую[5], симметричную относительно осей и
.
Уравнение в полярных координатах:
,
или[4]:
.
Поскольку в приведённые неявные формулы входят только квадраты переменных, то получение явных формул сводится к решению квадратных уравнений.