Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Группа орнамента (или группа плоской симметрии, или плоская кристаллографическая группа) — это математическая классификация двумерных повторяющихся узоров, основанных на симметриях. Такие узоры часто встречаются в архитектуре и декоративном искусстве. Существует 17 возможных различных групп.
Группы орнаментов являются двумерными группами симметрии, средними по сложности между группами бордюра и трёхмерными кристаллографическими группами (называемыми также пространственными группами).
Группы орнаментов распределяют узоры по категориям согласно их симметриям. Тонкая разница в похожих узорах может привести к распределению узоров в разные группы, в то время как узоры, существенно отличные по стилю, цвету, масштабу или ориентации могут принадлежать одной группе.
Рассмотрим следующие примеры:
Примеры A и B имеют ту же самую группу орнаментов, в обозначениях IUC она называется p4m, а в орбиозначениях[англ.] — *442. Пример C имеет другую группу орнаментов, называемую p4g, или 4*2 . Факт, что A и B имеют ту же самую группу, означает, что эти орнаменты имеют те же самые симметрии вне зависимости от деталей узоров, в то время как C имеет другой набор симметрий вопреки внешней похожести.
Полный список всех семнадцати возможных групп орнаментов можно найти ниже.
Симметрия узора является, грубо говоря, способом преобразования узора таким образом, что он выглядит после преобразования точно так же, каким он был до преобразования. Например, симметрия параллельного переноса присутствует, если при некотором сдвиге (параллельном переносе) рисунок совместится с самим собой. Представьте сдвиг вертикальных (одной ширины) полос горизонтально на одну полосу, рисунок останется тем же самым. Строго говоря, настоящая симметрия существует только для узоров, повторяющихся в точности и бесконечно. Набор из, скажем, только пяти полос не имеет симметрии параллельного переноса — при сдвиге полоса на одной стороне «исчезает» и новая полоса «добавляется» на другой стороне.
Иногда возможны два способа категоризации узора, одна основана исключительно на форме, а другая использует раскраску. Если игнорировать цвета, узор может иметь больше симметрий. Среди чёрно-белых мозаик существует тоже 17 групп орнаментов. Например, раскрашенная плитка эквивалентна чёрно-белой плитке с закодированным цветом в виде радиально симметричного «бар-кода» в центре масс каждой плитки.
Типы преобразований, рассматриваемые здесь, называются движениями. Например:
Однако пример C отличается. Он имеет отражения только относительно горизонтальных и вертикальных направлений, но не относительно диагональных осей. Если мы отразим узор относительно диагональной оси, мы не получим тот же самый узор. Мы получим исходный узор, смещённый на некоторое расстояние. Это одна из причин, почему группа орнаментов узоров A и B отличается от группы орнаментов узора C.
Другое преобразование — скользящая симметрия, комбинация отражения и параллельного переноса вдоль оси отражения.
Доказательство того, что существует только 17 возможных узоров, впервые осуществил Евграф Степанович Фёдоров в 1891[1], а затем, независимо, было выведено Дьёрдьем Пойей в 1924[2]. Доказательство, что список групп орнаментов полон, пришло лишь после того, как это было сделано для куда более сложного случая кристаллографических групп.
Группа орнаментов, или плоская кристаллографическая группа, — это изометрическое вполне разрывное кокомпактное действие группы на евклидовой плоскости (кокомпактность эквивалентна тому, что действие содержит два линейно независимых параллельных переноса).
Две такие группы изометрий имеют тот же тип (ту же самую группу орнаментов), если они переводятся друг в друга при аффинном преобразовании плоскости.
Так, например, сдвиг всего узора (а значит, и перенос осей отражения и центров поворота) не влияет на группу орнаментов. То же самое относится к изменению угла между векторами параллельного переноса при условии, что это не приводит к добавлению или исчезновению какой-либо симметрии (это возможно только в случае, когда нет зеркальной симметрии и скользящих симметрий, а вращательная симметрия имеет порядок максимум 2).
Изометрии евклидовой плоскости распадаются на четыре категории (см. статью Изометрия евклидовой плоскости[англ.] для дополнительной информации).
Условие линейной независимости параллельных переносов означает, что существуют линейно независимые вектора v и w (в R2), такие, что группа содержит как Tv, так и Tw.
Цель этого условия — отгородить группы орнаментов от групп бордюра, которые обладают параллельным переносом, но не двумя линейно независимыми, а также от двумерных дискретных точечных групп, которые вообще не имеют параллельных переносов. Другими словами, группы орнамента представляют узор, который повторяется в двух различных направлениях, в противоположность группам бордюра, которые повторяются только вдоль одной оси.
(Можно обобщить эту ситуацию. Мы, к примеру, могли бы изучать дискретные группы изометрий Rn с m линейно независимыми параллельными переносами, где m — любое целое в промежутке 0 ≤ m ≤ n.)
Условие вполне разрывности (иногда называется дискретностью) означает, что существует некоторое положительное вещественное число ε, такое, что для любого параллельного переноса Tv в группе, вектор v имеет длину по меньшей мере ε (за исключением, конечно, случая нулевого вектора v).
Цель этого условия — обеспечить, чтобы группа имела компактную фундаментальную область, или, другими словами, «ячейка» ненулевой конечной площади, которая повторяется на плоскости (в виде узора). Без этого условия мы можем получить, например, группу, содержащую параллельный перенос Tx для любого рационального числа x, что не соответствует никакому приемлемому орнаментальному узору.
Важное и нетривиальное следствие условия дискретности в комбинации с условием независимости параллельных переносов — группа может содержать только вращения порядка 2, 3, 4 или 6. То есть любой поворот в группе должен быть поворотом на 180°, 120°, 90° или 60°. Этот факт известен как теорема о кристаллографических ограничениях[англ.], и эта теорема может быть обобщена на случаи более высоких размерностей.
В кристаллографии имеется 230 различных кристаллографических групп, много больше 17 групп орнаментов, но многие симметрии в группах те же самые. Таким образом, можно использовать похожие обозначения для обоих видов групп, нотацию Карла Германа[англ.] и Шарля-Виктора Могена[англ.]. Пример полного имени орнамента в стиле Германа-Могена (обозначения называются также «Обозначениями Международного союза кристаллографов», IUC) — p31m с четырьмя буквами и цифрами. Обычно используется укороченное название, типа cmm или pg.
Для групп орнаментов полное обозначение начинается с p (от primitive cell - элементарная ячейка) или c (от face-centred cell — гранецентрированная ячейка). Они будут объяснены ниже. За буквой следует цифра n, обозначающая наибольший порядок вращательной симметрии — 1-кратная (нет), 2-кратная, 3-кратная, 4-кратная или 6-кратная. Следующие два символа обозначают симметрии по отношению к одной из осей параллельного переноса, которая считается «главной». Если существует зеркальная симметрия, перпендикулярная оси параллельного переноса, выбираем эту ось в качестве главной (если таких две, выбираем любую из них). В качестве символов выбирается m, g или 1, для зеркальной симметрии, скользящей симметрии или отсутствия симметрии. Ось зеркальной симметрии или скользящей симметрии перпендикулярна главной оси для первой буквы, и либо параллельна, либо наклонённая на 180°/n (если n > 2) для второй буквы. Многие группы включают другие симметрии. В короткой нотации отбрасываются цифры или m, если она определяется логически, если это не приводит к путанице с другими группами.
Примитивная ячейка — это минимальная область, повторяющаяся параллельным переносом по решётке. Все, кроме двух групп симметрии орнаментов, описываются осями примитивной ячейки, базис координат, использующий вектора параллельного переноса решётки. В оставшихся двух случаях симметрия описывается центрированными ячейками, которые больше примитивных ячеек, а потому имеют внутреннее повторение. Направления их сторон отлично от направлений векторов параллельного переноса. Нотация Германа-Могена для кристаллов кристаллографических групп использует дополнительные типы ячеек.
Имена, короткий и полный вид которых отличаются.
Орбиобозначение для групп орнаментов популяризовано Джоном Конвеем, основывается не на кристаллографии, а на топологии. Мы рассматриваем фактор-орбиобразие плоскости по действию группы орнамента и описываем его с помощью нескольких символов.
Рассмотрим группу с кристаллографической нотацией cmm. В обозначениях Конвея это будет 2*22. 2 перед * говорит, что мы имеем центр 2-кратного вращения без зеркал, проходящих через него. Сама * говорит, что мы имеем зеркало. Первая цифра 2 после * указывает, что мы имеем центр 2-кратного вращения на зеркале. Конечная 2 говорит, что мы имеем независимый второй центр 2-кратного вращения на зеркале, который не дублирует первый центр при симметриях.
Группа с обозначением pgg будет иметь обозначение Конвея 22×. Мы имеем два простых центра 2-кратного вращения и ось скользящей симметрии. Контрастирует с этой группой группа pmg, с символом Конвея 22*, где кристаллографическое обозначение упоминает скользящую симметрию, но ту, которая подразумевается неявно другими симметриями орбиобразия.
Скобочная нотация[англ.] Коксетера также включена. Она основана на группе Коксетера и модифицирована плюсом (в верхнем индексе) для вращений, несобственных вращений[англ.] и параллельных переносов.
Орбиобразие можно рассматривать как многоугольник с гранью, рёбрами и вершинами, который может быть развёрнут с образованием, возможно, бесконечного множества многоугольников, которые замощают всю сферу, плоскость или гиперболическую плоскость. Если многоугольник замощает плоскость, он даёт группу орнаментов, а если сферу или гиперболическую плоскость, то группу сферической симметрии или группу гиперболической симметрии[англ.]. Тип пространства, которое многоугольник замощает, может быть найден вычислением эйлеровой характеристики, χ = V − E + F, где V — число углов (вершин), E — число рёбер и F — число граней. Если эйлерова характеристика положительна, то орбиобразие имеет эллиптическую (сферическую) структуру. Если эйлерова характеристика равна нулю, оно имеет параболическую структуру, т. е. это группа орнаментов. Если же эйлерова характеристика отрицательна, орбиобразие имеет гиперболическую структуру. Когда перечислили все возможные орбиобразия, обнаружилось, что только 17 имеют эйлерову характеристику 0.
Когда орбиобразие копируется для заполнения плоскости, его элементы создают структуру вершин, рёбер и граней, которые должны удовлетворять характеристике Эйлера. Обращая процесс, мы можем назначить номера элементам орбиобразия, но дробные, а не целые. Поскольку само по себе орбиобразие является факторгруппой полной поверхности по группе симметрии, эйлерова характеристика орбиобразия является частным от деления эйлеровой характеристика поверхности на порядок группы симметрии.
Эйлерова характеристика орбиобразия равна 2 минус сумма значений элементов, назначенных следующим образом:
Для группы орнаментов сумма для характеристики Эйлера должна равняться нулю, так что сумма значений элементов должна равняться 2.
Теперь перечисление всех групп орнаментов сводится к арифметике, списку наборов элементов, дающих в сумме 2.
Наборы элементов с другой суммой не бессмысленны. Они заключают в себе неплоские замощения, которые мы здесь не обсуждаем. (Если эйлерова характеристика орбиобразия отрицательна, замощение гиперболическое[англ.], если же положительное, замощение сферическое, либо плохое).
Чтобы понять, какая группа орнаментов соответствует конкретной мозаике, можно использовать следующую таблицу [3].
Размер наименьшего поворота | Имеет отражения? | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
Да | Нет | |||||
360° / 6 | p6m (*632) | p6 (632) | ||||
360° / 4 | Имеет зеркала под углом 45°? | p4 (442) | ||||
Да: p4m (*442) | Нет: p4g (4*2) | |||||
360° / 3 | Имеет центры поворота вне зеркал? | p3 (333) | ||||
Да: p31m (3*3) | Нет: p3m1 (*333) | |||||
360° / 2 | Имеет перпендикулярные отражения? | Имеет скользящую симметрию? | ||||
Да | Нет | |||||
Имеет центры поворота вне зеркал? | pmg (22*) | Да: pgg (22×) | Нет: p2 (2222) | |||
Да: cmm (2*22) | Нет: pmm (*2222) | |||||
Нет поворотов | Имеет оси скольжения вне зеркал? | Имеет скользящую симметрию? | ||||
Да: cm (*×) | Нет: pm (**) | Да: pg (××) | Нет: p1 (o) |
См. также Это обозрение с диаграммами.
Каждая из групп в этой секции имеет две диаграммы структуры ячейки, каждая из которых интерпретируется следующим образом (здесь существенна форма, не цвет):
![]() |
центр вращения порядка два (180°). |
![]() |
центр вращения порядка три (120°). |
![]() |
центр вращения порядка четыре (90°). |
![]() |
центр вращения порядка шесть (60°). |
![]() |
ось отражения. |
![]() |
ось скользящей симметрии. |
На правой части диаграммы различные классы эквивалентности элементов симметрии покрашены (и повёрнуты) различно.
Коричневые или жёлтые области обозначают фундаментальную область, т. е. наименьшую повторяющаяся часть узора.
Диаграммы справа показывают ячейку решётки, соответствующую наименьшему параллельному переносу. Слева иногда показывает большую область.
Два параллельных переноса (стороны ячейки) могут иметь различные длины и могут образовывать любой угол.
(Первые три имеют вертикальные оси симметрии, а последние два имеют диагональные оси.)
Без рассмотрения деталей внутри зигзага коврик является pmg. Если принимать во внимание детали внутри зигзага, но не различать коричневые и чёрные полосы, получим pgg.
Если игнорировать волнистые края плиток, мостовая является pgg.
Симметрии вращения порядка 2 с центрами вращения в центрах сторон ромба являются следствием других свойств.
Узор соответствует:
Узор p4 можно рассматривать как повторение в строках и столбцах квадратной плитки с 4-кратной симметрией вращения. Его также можно рассматривать как шахматная клетка двух таких плиток меньших в раз и повёрнутых на 45°.
Это соответствует прямоугольной сетке строк и столбов одинаковых квадратов с четырьмя осями симметрии. Это также соответствует шахматному узору двух таких квадратов.
Примеры показаны с наименьшим горизонтальным и вертикальным параллельным переносом (как на диаграмме):
Примеры с наименьшим параллельным переносом по диагонали:
Узор p4g можно рассматривать как шахматное расположение копий квадратных плиток с 4-кратной вращательной симметрии и их зеркальных образов. Альтернативно, узор можно рассматривать (при сдвиге на половину плитки) как шахматное расположение копий горизонтально или вертикально симметричных плиток и их версий, повёрнутых на 90°. Заметим, что оба способа рассмотрения не применимы к простому шахматному узору из чёрных и белых плиток, в этом случае это группа p4m (с диагональным параллельным переносом ячеек).
Представим мозаику плоскости с равносторонними треугольниками одного размера со стороной, соответствующей наименьшему параллельному переносу. Тогда половина треугольников имеют одну ориентацию, а другая половина симметрична. Группа орнаментов соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны, в то время как оба типа имеют вращательную симметрию порядка три, но эти два не равны, не являются зеркальными образами друг друга и оба не симметричны (если оба типа равны, мы имеем p6, если они являются зеркальными образами друг друга, мы имеем p31m, если оба типа симметричны, мы имеем p3m1, если два из этих трёх свойств имеют место, то имеет место и третье, и мы получаем p6m). Для заданного рисунка, возможны три из этих замощений, каждое с центрами вращения в вершинах, то есть для любого замощения возможны два сдвига. В терминах рисунка: вершины могут быть красные, синие или зелёные треугольники.
Эквивалентно, представим замощение плоскости правильными шестиугольниками со стороной, равной наименьшему параллельному переносу, делённому на √3. Тогда эта группа обоев соответствует случаю, когда все шестиугольники равны (и имеют одну и ту же ориентацию) и имеют симметрию вращения порядка три, но при этом нет зеркального отражения (если они имеют вращательную симметрию порядка шесть, получим p6, если есть симметрия относительно главной диагонали, имеем p31m, если есть симметрия относительно прямых, перпендикулярных сторонам, имеем p3m1; если выполняются два из трёх этих свойств, то третье выполняется тоже и мы имеем p6m). Для заданного образа существует три замощения, каждое получается при расположении центров шестиугольников в центрах вращения узора. В терминах рисунка — центрами шестиугольника могут быть красные, синие и зелёные треугольнички.
Подобно группе p3, представим плоскость с равносторонними треугольниками одинакового размера, со стороной, равной наименьшей величине параллельного переноса. Тогда половина треугольников имеет одну ориентацию, а другая половина — обратную ориентацию. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны. Оба типа имеют вращательную симметрию порядка три, оба типа симметричны, но они не равны и не являются зеркальным отражением друг друга. Для заданного образа возможны три замощения, каждое имеет вершины в центрах вращения. В терминах рисунка — вершины могут быть красными, тёмно-синими или зелёными треугольничками.
Как для p3 и p3m1, представим замощение плоскости равносторонними треугольниками одного и того же размера, со стороной, равной наименьшему параллельному переносу. Тогда половина треугольников имеет одну ориентацию, а другая половина — противоположную. Группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны, в то время как оба типа имеют вращательную симметрию порядка три и каждый является зеркальным отражением другого, но треугольники себе не симметричны и не равны. Для данного образа возможно только одно замощение. В терминах рисунка — вершинами не могут быть тёмно-синие треугольнички.
Узор с такой симметрией можно считать мозаикой плоскости с равными треугольными плитками с симметрией C3, или эквивалентно, замощение плоскости равными шестиугольными плитками с симметрией C6 (при этом края плиток не обязательно будут частью узора).
Узор с этой симметрией можно рассматривать как мозаику на плоскости с равными треугольными плитками с симметрией D3, или эквивалентно, замощение плоскости равными шестиугольными плитками с симметрией D6 (края плиток не обязательно являются частью узора). Простейшие примеры — шестиугольная решётка с соединяющими прямыми или без них и шестиугольная мозаика с одним цветом для контуров шестиугольников и другим для фона.
Существует пять типов решёток (решётки Браве), соответствующих пяти группам орнаментов самих решёток. Группа орнаментов узора с этой решёткой симметрии параллельного переноса не может иметь больше, но может иметь меньше симметрий, чем сама решётка.
Фактическую группу симметрии нужно отличать от группы орнаментов. Группы орнаментов являются набором групп симметрии. Существует 17 таких наборов, но для каждого набора существует бесконечно много групп симметрии в смысле фактических групп изометрий. Они зависят, отдельно от группы орнаментов, числом параметров векторов параллельного переноса, ориентацией и положением осей зеркальной симметрии и центров поворота.
Число степеней свободы равно:
Однако, внутри каждой группы орнаментов, все группы симметрий алгебраически изоморфны.
Некоторые изоморфизмы групп симметрий:
Заметим, что, если преобразование уменьшает симметрию, преобразование того же вида (обратное), очевидно, для того же узора симметрию увеличивает. Такое свойство узора (например, расширение в одном направлении даёт узор с четырёхкратной симметрией) не считается видом дополнительной симметрии.
Замена цветов не влияют на группу орнаментов если любые две точки, имеющие один цвет до изменения, также будут иметь тот же цвет после замены, и, если любые две точки, имеющие разные цвета до замены, будут иметь различные цвета после замены.
Если первое выполняется, а второе нет, как в случае приведения изображения к чёрно/белому, симметрии сохранятся, но могут увеличиться, так что группа обоев может измениться.
Некоторые программные продукты позволяют создавать двумерные узоры с помощью групп симметрии орнаментов. Обычно можно редактировать исходную плитку и все копии плитки в узоре обновляются автоматически.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.