Группа Коксетера

Группа Коксетера — группа, порождённая отражениями в гранях ${\displaystyle n}$-мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от ${\displaystyle \pi }$ (то есть равен ${\displaystyle \pi /k}$ для некоторого целого ${\displaystyle k}$). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера. Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Примеры

• Конечным группам Коксетера изоморфны, в частности, группы Вейля простых алгебр Ли.
• Многогранники Коксетера в евклидовом пространстве размерности ${\displaystyle n}$:
  • ${\displaystyle n}$-мерный куб произвольной размерности.
  • ${\displaystyle n}$-мерный симплекс, образованный точками с координатами ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ такими, что ${\displaystyle 0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1}$.
• Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности ${\displaystyle n}$:
  • правильный ${\displaystyle n}$-мерный симплекс со стороной ${\displaystyle \pi /2}$.
• Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
  • Правильный ${\displaystyle k}$-многоугольник с углом ${\displaystyle \pi /m}$.
  • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности ${\displaystyle 3}$.
  • Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности ${\displaystyle 4}$.

Свойства

• Группы Коксетера описываются и классифицируются с помощью диаграмм Коксетера — Дынкина.
• Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • В частности, многогранник Коксетера замощает пространство.
  • В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером точечной группы.
• Теорема Винберга.^[1] В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
• Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
• Многогранники Коксетера являются простыми.
• Обозначим через ${\displaystyle \{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\}}$ отражения в гранях многогранника, и пусть ${\displaystyle \pi /m_{ij}}$ есть двугранный угол между гранями ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$. Положим ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$, если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и ${\displaystyle m_{ii}=1}$. Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:

  ${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

Вариации и обобщения

• Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания:

  ${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$,

где ${\displaystyle m_{ii}=1}$ и ${\displaystyle m_{ij}\geqslant 2}$ при ${\displaystyle i\neq j}$.

См. также

• Группа комплексных отражений
• Число Коксетера

Примечания

1. Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений Архивная копия от 23 мая 2013 на Wayback Machine УМН, 40:1(241) (1985), 29–66

Литература

• H. S. M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections (англ.) // Annals of Mathematics. — 1934. — Vol. 35. — P. 588—621. — doi:10.2307/1968753. JSTOR 1968753