Loading AI tools
изометрия метрического пространства Из Википедии, свободной энциклопедии
Движе́ние (или наложе́ние[1]) — преобразование метрического пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками, то есть если и — образы точек и , то . Иначе говоря, движение — это изометрия пространства в себя.
Несмотря на то, что движение определяется на всех метрических пространствах, этот термин более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях. В метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии) чаще говорят: изометрия пространства в себя. В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.
Иногда под движением понимают преобразование евклидова пространства, сохраняющее ориентацию. В этом случае, осевая симметрия плоскости движением не считается, а поворот и параллельный перенос считаются движением. Аналогично для общих метрических пространств движением считается элемент группы изометрий из связной компоненты тождественного отображения.
В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.
Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.
Пусть — движение евклидова точечного пространства а — пространство свободных векторов для пространства . Линейный оператор ассоциированный с аффинным преобразованием является ортогональным оператором, и поэтому его определитель может быть равен либо (собственный ортогональный оператор), либо (несобственный ортогональный оператор). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: собственные (если ) и несобственные (если )[2].
Собственные движения сохраняют ориентацию пространства несобственные — заменяют её на противоположную[3]. Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно перемещениями и антиперемещениями[4].
Всякое движение n-мерного евклидова точечного пространства может быть однозначно определено указанием ортонормированного репера в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве ортонормированный репер При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют расстояния между точками пространства (т. e. являются изометриями), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существует[5].
В механике в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (см. механическое движение). Если, следуя П. С. Александрову, называть непрерывным движением такое движение пространства которое непрерывно зависит от параметра (при в механике это соответствует движению абсолютно твёрдого тела), то ортонормированный репер может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаково[6].
Любое движение прямой есть либо параллельный перенос (сводящийся к смещению всех точек прямой на один и тот же вектор, лежащий на этой же прямой), либо отражение относительно некоторой точки, взятой на данной прямой. В первом случае движение является собственным, во втором — несобственным[7].
Любое движение плоскости относится к одному из следующих типов[3]:
Движения первых двух типов — собственные, последних двух — несобственные[8].
Любое движение трёхмерного пространства относится к одному из следующих типов[3]:
Движения первых трёх типов исчерпывают класс собственных движений трёхмерного пространства (теореме Шаля), а движения последних трёх типов являются несобственными[8].
В -мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и суперпозициям тех и других.
В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как суперпозиции (собственных) вращений и зеркальных отражений (т. e. симметрий относительно гиперплоскостей).
Любую изометрию в -мерном евклидовом пространстве можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отражений[9].
Так, параллельный перенос и поворот — суперпозиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое движение — четырёх.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.