Риманово многообразие

Риманово многообразие, или риманово пространство, ${\displaystyle (M,g)}$ — это (вещественное) гладкое многообразие ${\displaystyle M}$, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением ${\displaystyle g}$ — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.

Это позволяет определить различные геометрические понятия на римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиент функции и дивергенции векторных полей.

Риманова метрика ${\displaystyle g}$ — это положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор; точнее — это гладкое ковариантное симметричное положительно определенное тензорное поле валентности ${\displaystyle (0,2)}$.

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей.

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана.

Обзор

Касательное расслоение ${\displaystyle TM}$ гладкого многообразия ${\displaystyle M}$ ставит в соответствие каждой точке ${\displaystyle M}$ векторное пространство, называемое касательным, и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая ${\displaystyle \alpha (t)}$: ${\displaystyle [0,1]\rightarrow M}$ имеет касательный вектор ${\displaystyle \alpha '(t_{0})}$ в касательном пространстве ${\displaystyle TM(t_{0})}$ в любой точке ${\displaystyle t_{0}\in (0,1)}$, и каждый такой вектор имеет длину ${\displaystyle \|\alpha '(t_{0})\|}$, где ${\displaystyle \|\cdot \|}$ обозначает норму, индуцированную скалярным произведением на ${\displaystyle TM(t_{0})}$. Интеграл по этим длинам даёт длину всей кривой ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle L(\alpha )=\int _{0}^{1}{\|\alpha '(t)\|\,\mathrm {d} t}.}$

Гладкость ${\displaystyle \alpha (t)}$ для ${\displaystyle t}$ в ${\displaystyle [0,1]}$ гарантирует, что интеграл ${\displaystyle L(\alpha )}$ существует и длина кривой определена.

Во многих случаях для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие ${\displaystyle R^{n}}$ имеет индуцированную метрику ${\displaystyle g}$: скалярное произведение на каждом касательном пространстве — это просто скалярное произведение на ${\displaystyle R^{n}}$. Имеет место и обратный факт: теорема Нэша о регулярных вложениях утверждает, что любое достаточно гладкое риманово многообразие может быть реализовано как подмногообразие с индуцированной метрикой в ${\displaystyle R^{n}}$ достаточной большой размерности ${\displaystyle n}$.

Измерение длин и углов при помощи метрики

На римановом многообразии длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция ${\displaystyle x(t)}$ параметра ${\displaystyle t}$, меняющегося от ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$), равна:

${\displaystyle L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt=\int \limits _{x(a)}^{x(b)}{\sqrt {g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}}.}$

Угол ${\displaystyle \theta \ }$ между двумя векторами, ${\displaystyle U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ }$ и ${\displaystyle V=v^{j}{\partial \over \partial x^{j}}\ }$ (в искривлённом пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}.}$

Обобщения

• Псевдориманово многообразие
• Субриманово многообразие
• Финслерово многообразие

Литература

• Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
• А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
• В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 5: Римановы многообразия