Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике — это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.
Пусть
— выборка объёма
, порождённая случайной величиной
, задаваемой функцией распределения
. Будем считать, что
, где
, — независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов
. Пусть
. Определим функцию
следующим образом:
,
где
— индикатор события
,
— функция Хевисайда. Таким образом, значение функции
в точке
равно относительной частоте элементов выборки, не превосходящих значение
. Функция
называется выборочной функцией распределения случайной величины
, или эмпирической функцией выборки, и является аппроксимацией для функции
. Существует теорема Колмогорова, утверждающая, что при
функция
равномерно сходится к
, и указывающая скорость сходимости.
Для каждого положительного
,
— случайная величина со значением
.
,
где
, а
— количество элементов выборки, равных
. В частности, если все элементы выборки различны, то
.
Математическое ожидание этого распределения имеет вид:
.
Таким образом, выборочное среднее — это теоретическое среднее выборочного распределения.
Аналогично, выборочная дисперсия — это теоретическая дисперсия выборочного распределения.
.
- Выборочная функция распределения
является несмещённой оценкой функции распределения
:
.
- Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
.
почти наверное при
.
- Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой теоретической функции распределения. Если
, то
по распределению при
.