Координатное пространство

Координатное пространство — это плоское пространство, которое устанавливает позицию двухмерных объектов при использовании двух опорных осей, которые являются перпендикулярными друг к другу.

Все физические явления могут быть описаны в разных пространствах: координатном, импульсном, фазовом и др. Описания математически эквивалентны, однако различаются сложностью и интуитивностью описания. В большинстве случаев, координатное пространство является интуитивно понятным и наиболее лёгким для понимания процесса, в нём протекающего, однако, в физике твёрдого тела в общем случае удобнее использовать импульсное описание.

Определение

Назовём^[1] ${\displaystyle n}$-мерным вектором совокупность из ${\displaystyle n}$ чисел поля ${\displaystyle P,}$ эти числа — координатами вектора ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}).}$ Для определённости говорят, что данный вектор ${\displaystyle {\vec {r}}}$ является радиус-вектором, хотя это не обязательно.

Множество ${\displaystyle n}$-мерных векторов, для которых определены операции:

• ${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}\;\leftrightarrow \;\left\{{\begin{matrix}a_{1}=b_{1}\\a_{2}=b_{2}\\\ldots \\a_{n}=b_{n}\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})}$
• ${\displaystyle \lambda \cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot a_{1},\;\lambda \cdot a_{2},\ldots ,\lambda \cdot a_{n})}$

называют ${\displaystyle n}$-мерным арифметическим пространством или ${\displaystyle n}$-мерным координатным пространством ${\displaystyle P^{n}}$.

Свойства

Пусть ${\displaystyle \exists {\vec {0}}=(0,0,\ldots ,0),{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\lambda \in \mathbb {R} ,\mu \in \mathbb {R} }$

• Ассоциативность:

${\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})}$

• Коммутативность:

${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}$

• Единственность решения уравнения:

${\displaystyle \forall {\vec {a}},{\vec {b}}\;\exists$ !\;{\vec {x}}\in P^{n}\;:\;{\vec {a}}+{\vec {x}}={\vec {b}}}

• Существование нейтрального элемента:

${\displaystyle \forall {\vec {a}}\;:\;{\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}}$

• Существование противоположного вектора:

${\displaystyle \forall {\vec {a}}\;\exists {\vec {b}}(b_{1}=-a_{1},\;b_{2}=-a_{2},\ldots ,b_{n}=-a_{n})\;:\;{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}}$

• Ассоциативность скалярного умножения:

${\displaystyle \forall \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \;:\;\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {a}})=(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {a}}}$

• Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров:

${\displaystyle (\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {a}}+\mu \cdot {\vec {a}}}$

• Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов:

${\displaystyle \lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}}$

• Существование базис-векторов:

Пусть ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\vec {v_{1}}}={\vec {v_{1}}}(1,0,\ldots ,0)\\{\vec {v_{2}}}={\vec {v_{2}}}(0,1,\ldots ,0)\\\vdots \\{\vec {v_{n}}}={\vec {v_{n}}}(0,0,\ldots ,1)\end{matrix}}\right.}$

Тогда

• Эти векторы линейно независимы
• Любой вектор ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$ можно представить как ${\displaystyle {\vec {v}}=v_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+v_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +v_{n}\cdot {\vec {v_{n}}}}$

Операторы в координатном пространстве

Все операторы могут быть обобщены на ${\displaystyle n}$-мерный случай, однако для простоты в этом разделе будут рассматриваться только трёхмерные случаи.

• Лапласиан:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}$

• Набла:

${\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}}$

• Векторный оператор Лапласа^[2]:

${\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})}$

• Оператор импульса:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$

См. также

• Импульсное пространство
• Фазовое пространство
• Пространство конфигураций

Примечания

1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1968. — С. 154—155. — 912 с.
2. Weisstein, Eric W. Vector Laplacian (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература