Радиус-вектор

Ра́диус-ве́ктор (обозначается буквой ${\displaystyle r}$ со стрелкой: ${\displaystyle {\vec {r}}}$ или набираемой жирным шрифтом: ${\displaystyle \mathbf {r} }$) — вектор, задающий положение точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Понятие используется в математике (геометрии) и физике.

Радиус-вектор в геометрии

Для произвольной точки в пространстве радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина, или модуль, радиус-вектора — расстояние, на котором точка находится от начала координат, стрелка вектора указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Запись в различных системах координат

Двумерное пространство

• Декартовы координаты: ${\displaystyle \quad {\vec {r}}=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}}$
• Полярные координаты: ${\displaystyle \quad {\vec {r}}=\rho {\vec {e}}_{\rho }}$

Трёхмерное пространство

• Декартовы координаты: ${\displaystyle \quad {\vec {r}}=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}+z{\vec {e}}_{z}}$
• Цилиндрические координаты: ${\displaystyle \quad {\vec {r}}=\rho {\vec {e}}_{\rho }+z{\vec {e}}_{z}}$
• Сферические координаты: ${\displaystyle \quad {\vec {r}}=\rho {\vec {e}}_{\rho }}$

n-мерное пространство

• Декартовы координаты: ${\displaystyle \quad {\vec {r}}=x_{1}{\vec {e}}_{1}+x_{2}{\vec {e}}_{2}+...+x_{n}{\vec {e}}_{n}}$

Радиус-вектор в кинематике

В кинематике изменение радиус-вектора со временем, то есть вектор-функция ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$, определяет движение материальной точки. Если указанная функция известна, на её основе могут быть вычислены скорость и ускорение:

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\frac {{\mbox{d}}{\vec {r}}(t)}{{\mbox{d}}t}}={\dot {\vec {r}}}(t)}$

${\displaystyle {\vec {a}}(t)={\frac {{\mbox{d}}^{2}{\vec {r}}(t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}={\ddot {\vec {r}}}(t)}$,

где точка сверху обозначает дифференцирование по времени, а две точки — двукратное дифференцирование.

В таком виде запись применима к системе координат любого типа. Но переход к трём координатам декартовой, цилиндрической и сферической систем осуществляется по-разному. Например, если для декартовых координат ${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {x}}{\vec {e}}_{x}+{\dot {y}}{\vec {e}}_{y}+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}}$, то для цилиндрической системы имеем не ${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+{\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}}$, а выражение: ${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\rho }}{\vec {e}}_{\rho }+\rho {\dot {\varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\dot {z}}{\vec {e}}_{z}}$; ускорение в последнем случае: ${\displaystyle {\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\varphi }}^{2}){\vec {e}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\varphi }}+\rho {\ddot {\varphi }}){\vec {e}}_{\varphi }+{\ddot {z}}{\vec {e}}_{z}}$.