Поликуб

Поликуб — трёхмерная фигура, образованная путём соединения нескольких равных кубов гранью к грани. Это полиформа, базовый сегмент которой имеет форму куба. Поликубы являются трёхмерными аналогами плоских полимино.

8 «односторонних» тетракубов

29 «односторонних» пентакубов

Число поликубов

Как и в случае полимино, подсчёт поликубов может быть основан на нескольких типах соглашений, в зависимости от того, считать ли повороты и зеркальные отражения различными фигурами. Например, среди тетракубов есть шесть зеркально-симметричных и один хиральный, что делает общее количество тетракубов равным 7 (свободные) или 8 (односторонние). В отличие от полимино, при подсчёте поликубов, как правило, зеркально отражённые фигуры считаются различными, потому что в трёхмерном пространстве нельзя перевести поликуб в своё зеркальное отражение, как можно это сделать с полимино. В частности, в кубиках сома используются обе формы хирального тетракуба.

n	Наименование	Число «односторонних» n-кубов (зеркальные отражения различаются) последовательность A000162 в OEIS	Число свободных n-кубов (зеркальные отражения считаются идентичными) последовательность A038119 в OEIS
1	монокуб	1	1
2	дикуб	1	1
3	трикуб	2	2
4	тетракуб	8	7
5	пентакуб	29	23
6	гексакуб	166	112
7	гептакуб	1023	607
8	октакуб	6922	3811
9	нонакуб	48 311	25 413
10	декакуб	346 543	178 083

По состоянию на 2024 год известно точное количество поликубов вплоть до порядка n=22^[1].

Симметрии поликубов

Как и полимино, поликубы можно классифицировать по количеству симметрий, которые они имеют. Возможные симметрии поликубов (классы сопряженности подгрупп ахиральной октаэдрической группы^[англ.]) впервые были перечислены У. Ф. Ланноном в 1972 году. Большинство поликубов асимметричны, но многие имеют более сложные группы симметрии, вплоть до полной группы симметрии куба с 48 элементами. Всего для поликубов существует 33 различных типа симметрии (включая асимметрию)^[2].

Головоломки на основе поликубов

На основе поликубов существует множество различных головоломок, наиболее известными примерами которых являются кубики сома, куб Бедлама, дьявольский куб, головоломка Слотобера — Граатсмы и головоломка Конвея.

• 
  Куб Бедлама (собранный)
• 
  Куб Бедлама (детали)
• 
  Кубики сома (одно из 6 решений)
• 
  Кубики сома (детали)

Примечания

1. Kevin Gong Polyominoes Enumeration Архивная копия от 4 сентября 2013 на Wayback Machine
2. Lunnon, W. F. (1972), "Symmetry of Cubical and General Polyominoes", in Read, Ronald C. (ed.), Graph Theory and Computing, New York: Academic Press, pp. 101–108, ISBN 978-1-48325-512-5

Ссылки

• Библиотека по математике Задачи о пространственных пентамино Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• OEIS A000162 Архивная копия от 26 августа 2013 на Wayback Machine — количество поликубов как функция порядка
• Weisstein, Eric W. Polycube (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• The Poly Pages Polycubes Архивная копия от 11 ноября 2013 на Wayback Machine
• David J. Goodger Polycubes: Puzzles & Solutions Архивная копия от 24 июля 2013 на Wayback Machine
• Harm J. Schoonhoven Klarner's pentacube puzzle Архивная копия от 18 мая 2014 на Wayback Machine
• Peter F. Esser Pseudo-Polycubes Архивная копия от 23 октября 2013 на Wayback Machine, Hexacubes Архивная копия от 25 апреля 2016 на Wayback Machine, Solid Heptominoes Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, Solid Octominoes Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Bob Harris Bob’s Puzzle Pages Архивная копия от 19 августа 2013 на Wayback Machine — головоломки с поликубами, названия пентакубиков Архивная копия от 8 сентября 2013 на Wayback Machine, гексакубиков Архивная копия от 8 сентября 2013 на Wayback Machine