Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Мультипо́ли (от лат. multum — много и греч. πόλος — полюс) — определённые конфигурации точечных источников (зарядов). Простейшими примерами мультиполя служат точечный заряд — мультиполь нулевого порядка; два противоположных по знаку заряда, равных по абсолютной величине — диполь, или мультиполь 1-го порядка; 4 одинаковых по абсолютной величине заряда, размещённых в вершинах параллелограмма, так что каждая его сторона соединяет заряды противоположного знака (или два одинаковых, но противоположно направленных диполя) — квадруполь, или мультиполь 2-го порядка. Название мультиполь включает обозначение числа зарядов (на латинском языке), образующих мультиполь, например, октуполь (окту — 8) означает, что в состав мультиполя входит 8 зарядов[1].
Выделение таких конфигураций связано с разложением поля[2] от сложных, ограниченных в пространстве систем источников поля (включая и случай непрерывного распределения источников) по мультиполям - так называемым 'мультипольным разложением'[3].
Под полем может иметься в виду электростатическое или магнитостатическое поле, а также аналогичные им поля (например, ньютоновское гравитационное поле)[4].
Такое разложение часто может применяться для приближенного описания поля от сложной системы источников на большом (много большем, чем размер самой этой системы) расстоянии от неё; в этом случае важно то, что поле мультиполя каждого следующего порядка убывает с расстоянием гораздо быстрее предыдущих, поэтому часто можно ограничиться несколькими (в зависимости от расстояния и требуемой точности) членами (низших порядков) мультипольного разложения. В другом случае по разным причинами мультипольное разложение оказывается удобным даже при суммировании всех порядков (тогда оно представляет собой бесконечный ряд); в этом случае оно даёт точное выражение поля не только на больших, но в принципе на любых расстояниях от системы источников (за исключением внутренних её областей).
Кроме статических (или приближенно статических) полей часто в связи с мультипольными моментами говорят о мультипольном излучении - излучении, рассматриваемом как обусловленное изменением во времени мультипольных моментов системы-излучателя. Этот случай отличается тем, что в нем поля разных порядков убывают с расстоянием одинаково быстро, различаясь зависимостью от угла.
Здесь и ниже используется система СГС. Для перевода «электростатических» формул в систему СИ следует ввести множитель ( — электрическая постоянная) во все выражения потенциала и поля через заряды или мультипольные моменты; запись самих моментов одинакова для СИ и СГС. Комментарий по «магнитостатическим» формулам даётся в соответствующем разделе.
Электростатический потенциал системы зарядов в точке
где — заряды, — их координаты. Раскладывая этот потенциал в ряд Тейлора, получим
называемое мультипольным разложением, где введено обозначение
— -польные потенциалы, называют порядком члена мультипольного разложения. Член 0-го порядка имеет вид
что совпадает с потенциалом точечного заряда (потенциалом монополя). Член 1-го порядка равен
где — единичный вектор, направленный вдоль . Если ввести дипольный момент системы зарядов как , то система совпадёт с потенциалом точечного диполя. Таким образом, потенциал в 1-м порядке разложения по мультиполям имеет вид
Если , то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Если , то можно выбрать систему координат с центром в точке , тогда дипольный момент станет равным нулю. Такая система называется системой центра заряда. Следующий член разложения имеет вид
где — квадрупольный момент системы зарядов. Введём матрицу квадрупольного момента. Тогда потенциал в 2-м порядке разложения по мультиполям примет вид
Матрица является бесследовой, то есть . Кроме того, она является симметричной, то есть . Поэтому она может быть приведена к диагональному виду с помощью поворота осей декартовых координат.
В общем случае вклад -го порядка в потенциал может быть представлен в виде:
где — -польный момент системы зарядов, представляющий собой неприводимый тензор -го порядка. Этот тензор симметричен по любой паре индексов и обращается в нуль при сворачивании по любой паре индексов.
Если заряд распределён с некоторой плотностью , то переходя к непрерывному пределу (или непосредственно выводя из исходных формул) в формулах для дискретного распределения можно получить мультипольное разложение и в этом случае:
где — объём, в котором находится распределённый заряд. Тогда мультипольные моменты имеют вид:
Формулы для потенциалов мультиполей остаются неизменными. Случай дискретной системы зарядов может быть получен подстановкой их плотности распределения, которая может быть выражена через δ-функции:
При вычислении потенциала полезна формула[5] , где — полиномы Лежандра, — угол между векторами и .
Напряжённость электростатического поля системы зарядов равна градиенту электростатического потенциала, взятому с обратным знаком
Подставив в эту формулу напряжённость мультипольное разложение потенциала, получим мультипольное разложение напряжённости электростатического поля
где
— электрическое поле -поля.
В частности поле точечного заряда (монополя) имеет вид:
что соответствует закону Кулона.
Поле точечного диполя:
Поле точечного квадруполя:
Таким образом, электрическое поле системы покоящихся зарядов во 2-м порядке мультипольного разложения имеет вид:
Из данной формулы просто получить нормальную (радиальную) компоненту электрического поля
Тангенциальная компонента может быть найдена вычитанием нормальной
Если нормальная (радиальная) компонента отражает сферически симметричное распределение зарядов, то тангенциальая — несферический вклад в электростатическое поле. Таким образом, квадрупольный момент является интересным для исследования не только, когда суммарный заряд и дипольный момент системы равны нулю, но и в том случае, когда кулоновский вклад ненулевой. Тогда, в соответствии с формулой для тангенциальной компоненты, квадрупольный момент характеризует степень несферичности электрического поля в системе центра заряда. Именно так были измерены электрические квадрупольные моменты у атомных ядер и был сделан вывод об отсутствии у них сферической симметрии.
Как и формулы электростатики выше, нижеследующие «магнитные» соотношения записываются в системе СГС. Для перехода к СИ нужно убрать из всех выражений, а в формулы для ввести множитель ( — магнитная постоянная). Здесь, в отличие от электростатических соотношений, изменяется и выражение магнитного момента (в СИ будет убрана скорость света).
Векторный потенциал зарядов, движущихся с постоянной скоростью имеет вид:
Он аналогичным образом раскладывается в мультипольное разложение:
Ряд начинается с , так как магнитных зарядов не существует (магнитные заряды в физике фундаментальных взаимодействий не обнаружены, хотя они и могут быть использованы, как модель для описания явлений в физике твёрдого тела). Этот член соответствует магнитному диполю (точечному круговому контуру с током):
где — магнитный момент системы токов (движущихся зарядов):
Если ток распределён по объёму среды, магнитный дипольный момент записывается как
где — плотность тока в элементе объёма . При этом выражение для через изменений не претерпевает.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.