K3-поверхность

K3-поверхность (читается ка-три, в честь Куммера, Келера и Кодаиры) — связная односвязная компактная комплексная поверхность (то есть комплексное многообразие комплексной размерности два), допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.^[1]

Квартика в C P 3 {\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}}

Вещественные точки некоторой квартики

Одним из самых простых примеров K3-поверхностей даётся гладкими поверхностями четвёртой степени в комплексном проективном пространстве. Для того, чтобы доказать, что эти поверхности удовлетворяют определению K3-поверхности, однако, требуется некоторое знакомство с теорией линейных расслоений.

Именно, с точки зрения линейных расслоений, однородные функции степени ${\displaystyle n}$ на проективном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}$ суть сечения линейного расслоения ${\displaystyle {\mathfrak {O}}(n)}$ — ${\displaystyle n}$-ной степени тавтологического расслоения ${\displaystyle {\mathfrak {O}}(1)}$. Если ${\displaystyle L\to X}$ — некоторое линейное расслоение, и ${\displaystyle s\in \Gamma (L)}$ — его сечение, притом его нулевой уровень ${\displaystyle Y=\{x\in X\colon s(x)=0\}}$ есть гладкое подмногообразие, то его дифференциал ${\displaystyle ds}$ определяет в каждой точке ${\displaystyle y\in Y}$ отображение ${\displaystyle T_{y}X\to L_{y}}$, ядро которого есть в точности ${\displaystyle T_{y}Y}$. Тем самым, учитывая гладкость ${\displaystyle Y}$, имеем изоморфизм расслоений ${\displaystyle TX|_{Y}/TY{\xrightarrow {ds}}L|_{Y}}$. Этот фактор ${\displaystyle TX|_{Y}/TY=\nu _{Y/X}}$ называется нормальным расслоением; в частности, видим, что нормальное расслоение к гладкой квартике ${\displaystyle Y=Y_{4}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}}$ изоморфно ${\displaystyle {\mathfrak {O}}(4)|_{Y}}$.

С другой стороны, нормальное расслоение вписывается в точную последовательность ${\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to \nu _{Y/X}}$. Дуализируя, получаем точную последовательность ${\displaystyle 0\to \nu _{Y/X}^{*}\to T^{*}X|_{Y}\to T^{*}Y\to 0}$, и, вычисляя старшую внешнюю степень и пользуясь её функториальными свойствами, имеем изоморфизм линейных расслоений ${\displaystyle K_{X}|_{Y}\cong K_{Y}\otimes \nu _{Y/X}^{*}}$, или, по двойственности, ${\displaystyle K_{Y}\cong K_{X}|_{Y}\otimes \nu _{Y/X}}$ (эта формула называется формулой присоединения). Применяя формулу присоединения к случаю, когда ${\displaystyle X=\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}$ (каноническое расслоение которого изоморфно ${\displaystyle {\mathfrak {O}}(-m-1)}$ согласно точной последовательности Эйлера), имеем ${\displaystyle {\mathfrak {O}}(-m-1)=K_{Y}\otimes \nu _{Y/\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}^{*}}$. В частности, когда ${\displaystyle Y}$ — гладкая гиперповерхность степени ${\displaystyle m+1}$, её каноническое расслоение тривиально. Для ${\displaystyle m=2}$ отсюда следует, что гладкая кубическая кривая на плоскости является эллиптической кривой, для ${\displaystyle m=3}$ отсюда следует наличие нигде не зануляющейся голоморфной 2-формы на поверхности четвёртой степени в проективном пространстве (вообще же отсюда следует, что гладкая гиперповерхность степени ${\displaystyle m+1}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}$ является многообразием Калаби-Яу).

Осталось доказать односвязность квартики. Для этого рассмотрим вложение по линейной системе ${\displaystyle {\mathfrak {O}}(4)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{34}}$, относительно которого гиперплоские сечения высекают на образе ровно нулевые уровни однородных полиномов степени четыре (тем самым наша квартика ${\displaystyle Y}$ есть подходящее гиперплоское сечение образа ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}}$ при таком вложении). По теореме Лефшеца о гиперплоском сечении оно устанавливает изоморфизм фундаментальных групп ${\displaystyle \pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3})}$, а фундаментальная группа комплексного проективного пространства, как известно, тривиальна. Таким образом, гладкая квартика ${\displaystyle Y}$ ещё и односвязна, и, стало быть, является K3-поверхностью.

Внешние изображения
	массажёр от остеохондроза, поверхность которого — вещественные точки K3-поверхности с тремя инволюциями.

В вышеизложенном единственное принципиальное свойство ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}}$ — наличие у расслоения, двойственного к каноническому, сечения, нулевой уровень которого — гладкая поверхность. Тем же свойством обладает любое трёхмерное многообразие Фано, например ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$. В данном случае антиканоническое расслоение ограничивается на каждый из сомножителей как его собственное антиканоническое расслоение, то есть ${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}(2)}$, так что всякий антиканонический дивизор пересекает каждую из таких «координатных осей» в двух точках. Таким образом, такая K3-поверхность будет обладать тремя инволюциями: переставляющими точки пересечения с первым, вторым и третьим сомножителем. Аналогичная пара инволюций также имеется на кривой в ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$, пересекающей оба сомножителя по два раза. Как известно, ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ биголоморфно квадрике в ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}}$, а такая кривая будет лежащей на квадрике эллиптической кривой. Эти две инволюции в данном случае будут порождать действие группы ${\displaystyle \mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2}$, свободного произведения, изоморфного бесконечной группе диэдра. Таким образом, либо орбиты этого действия на эллиптической кривой плотны, либо же это действие пропускается через конечный фактор (то есть какую-то группу диэдра конечного порядка), и все его орбиты конечны. Это утверждение имеет инкарнацию в элементарной геометрии, известную как поризм Понселе. В случае K3-поверхности три инволюции порождают действие куда более сложного тройного свободного произведения ${\displaystyle \mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2}$, интересное с точки зрения голоморфной динамики.

Риччи-плоская метрика и куммеровы K3-поверхности

Эрнст Куммер

Все K3-поверхности кэлеровы (это доказал Сиу). Поскольку на них имеется нигде не зануляющаяся голоморфная форма старшей степени, к ним применима теорема Калаби — Яу, то есть для каждого класса ${\displaystyle [\omega _{g}]}$, представляемого как симплектическая форма кэлеровой метрики ${\displaystyle g}$, существует метрика нулевой кривизны Риччи в данном классе. Вместе с тем, эту метрику невозможно написать явно: теорема Калаби — Яу есть лишь теорема о существовании, но ни в коей мере не явная конструкция.

Единственный случай, когда существует хоть какое-то приближение — это случай так называемых куммеровых поверхностей. Пусть ${\displaystyle A}$ — комплексный тор, то есть фактор ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\Lambda }$, где ${\displaystyle \Lambda }$ — решётка ранга четыре. Рассмотрим фактормногообразие ${\displaystyle A/\{x\sim -x\}}$. Стандартная голоморфная 2-форма ${\displaystyle dz\wedge dw}$ на ${\displaystyle A}$ (спускающаяся с ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$) инвариантна относительно умножения на ${\displaystyle -1}$, стало быть, она спускается на неособый локус в факторе. Особенности же имеют вид ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}}$; раздутие в такой особенности локально есть кокасательное расслоение к ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$, и стандартная голоморфная 2-форма продолжается в такое раздутие. Особенности ${\displaystyle A/\{\pm 1\}}$ это в точности точки 2-кручения на четырёхмерном торе, их ${\displaystyle 2^{4}=16}$ штук. Итак, раздувая эти ${\displaystyle 16}$ квадратичных особенностей, можно получить поверхность с тривиальным каноническим классом. Легко видеть, что она односвязна. Такая K3-поверхность называется куммеровой K3-поверхностью, связанной с комплексным тором ${\displaystyle A}$. В отличие от предыдущих примеров, такая поверхность может быть уже не вкладываться в проективное пространство, если не был проективным изначальный тор ${\displaystyle A}$.

Риччи-плоская метрика на тотальном пространстве голоморфного кокасательного расслоения к ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ достаточно хорошо известна: это метрика Калаби — Эгучи — Хансона. Сложный аналитический вопрос состоит в том, как склеить её с плоской метрикой на гладкой части фактора тора при вдувании новых рациональных кривых. Для этого обе метрики необходимо менять глобально. Этот вопрос изучал Дональдсон.^[2] В его оптике он связан с вопросами о конструкциях многообразий со специальными голономиями (такими как G2-многообразия), которые, в отличие от K3-поверхностей, не имеют алгебраико-геометрического описания.

Топология K3-поверхностей

Келер

Топология куммеровых K3-поверхностей особенно понятна. Так, её второе число Бетти ${\displaystyle b_{2}}$ равняется ${\displaystyle 6+16=22}$: ${\displaystyle 6}$ происходят с изначального четырёхмерного тора, а ${\displaystyle 16}$ — из шестнадцати вдуваемых кривых. Стало быть, эйлерова характеристика у них равна ${\displaystyle 1+22+1=24}$.

Оказывается, то же самое верно и для любой другой K3-поверхности: все K3-поверхности диффеоморфны. Более того, они, что называется, деформационно эквивалентны: любые две комплексные структуры K3-поверхности можно связать непрерывным путём в пространстве всех комплексных структур. Решётка ${\displaystyle H_{2}(K3,\mathbb {Z} )}$ с её родной формой пересечения изоморфна ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$, где ${\displaystyle E_{8}}$ — решётка E8, а ${\displaystyle U}$ — стандартная гиперболическая решётка. В частности, сигнатура решётки вторых когомологий равняется ${\displaystyle (3,19)}$.

Поскольку все K3-поверхности кэлеровы, имеет смысл говорить об их числах Ходжа: у всех K3-поверхностей они равны ${\displaystyle h^{2,0}=h^{0,2}=1}$, ${\displaystyle h^{1,1}=20}$. Отсюда при помощи теоремы Ходжа об индексе легко вывести утверждение о сигнатуре.

Эллиптические K3-поверхности

Кодаира

Весьма примечательна геометрия K3-поверхностей, на которых имеется эллиптическая кривая. Именно, пусть ${\displaystyle X}$ — K3-поверхность, и ${\displaystyle E\subset X}$ — эллиптическая кривая. Из формулы присоединения (см. выше) мы знаем, что ${\displaystyle K_{E}\cong K_{X}|_{E}\otimes \nu _{E/X}}$. Но каноническое расслоение и у K3-поверхности, и у эллиптической кривой тривиально. Стало быть, и нормальное расслоение эллиптической кривой тривиально. Это означает, что эллиптическая кривая на K3-поверхности допускает семейство деформаций, которые не пересекают эту кривую (и друг друга). Эти деформации (включая и вырождающиеся) будут параметризовываться рациональной кривой, то есть одна эллиптическая кривая ${\displaystyle E\subset X}$ на K3-поверхности определяет отображение ${\displaystyle X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$, слои которого суть ${\displaystyle E}$ и её деформации. Это семейство называется пучком Лефшеца или эллиптическим расслоением. Сама такая K3-поверхность называется эллиптической K3-поверхностью.

У эллиптического расслоения на K3-поверхности всегда имеются особые слои (поскольку эйлерова характеристика K3-поверхности равна ${\displaystyle 24}$, а у эллиптической кривой она нулевая). Если все слои наиболее возможно простые — то есть просто декартовы листы, имеющие эйлерову характеристику ${\displaystyle 1}$, то особых слоёв должно быть ${\displaystyle 24}$ (вообще говоря, их будет меньше). На базе вне точек, слои над которыми особы имеется плоская связность, называемая связностью Лиувилля — Арнольда. Монодромия такой связности лежит в группе ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$. Рассмотрим группу ${\displaystyle {\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}}}$, получающаюся как прообраз ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ в универсальном накрытии ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$. Это центральное расширение ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ при помощи ${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z} }$. Обозначим образующую этой циклической подгруппы за ${\displaystyle u}$. Оказывается, существует гомоморфизм ${\displaystyle i\colon {\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}}\to \mathbb {Z} }$ такой, что ${\displaystyle i(u)=12}$. Аналог теоремы Гаусса — Бонне, доказанная Концевичем и Сойбельманом, утверждает, что если на поверхности ${\displaystyle S}$ с ${\displaystyle n}$ проколами ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ имеется плоская связность с монодромией ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$, то имеет место равенство ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}i(\gamma _{k})=12\chi (S)}$, где ${\displaystyle \gamma _{k}}$ — монодромия вокруг прокола ${\displaystyle x_{k}}$. В частности, если все ${\displaystyle i(\gamma _{k})}$ равны единице, получаем всё те же двадцать четыре прокола.^[3]

Теорема Торелли

Если имеется голоморфное семейство K3-поверхностей над единичным диском, расслоение их вторых когомологий тривиализуется связностью Гаусса — Манина. Вместе с тем, как вариация структур Ходжа, оно уже не будет тривиальным (если не было тривиальным само семейство).

Структура Ходжа типа той, что на вторых когомологиях K3, однозначно определяется прямой ${\displaystyle H^{2,0}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )}$, порождённой классом голоморфной 2-формы ${\displaystyle \Omega }$. Поскольку ${\displaystyle \Omega \wedge {\bar {\Omega }}}$ есть форма объёма риччи-плоской метрики, а ${\displaystyle \Omega \wedge \Omega =0}$ умножается на себя нулём, эта прямая изотропна относительно формы пересечения. Таким образом, она может лежать только на некоторой гладкой квадрике в ${\displaystyle \mathrm {P} (H^{2}(K3,\mathbb {C} ))}$. Условие же ${\displaystyle \Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0}$ выделяет на этой квадрике некоторое открытое подмножество. Его можно описать следующим образом как однородное пространство.

Рассмотрим двумерное пространство ${\displaystyle \mathrm {span} \{[\Omega ],[{\bar {\Omega }}]\}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )}$. Оно инвариантно относительно комплексного сопряжения, и потому является комплексификацией некоторого двумерного вещественного подпространства ${\displaystyle U_{\Omega }\subset H^{2}(K3,\mathbb {R} )}$. Зададим на нём вещественный оператор как умножение на ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ вдоль ${\displaystyle [\Omega ]}$ и на ${\displaystyle -{\sqrt {-1}}}$ вдоль ${\displaystyle [{\bar {\Omega }}]}$. На вещественной плоскости ${\displaystyle U_{\Omega }}$ этот оператор действует как поворот на ${\displaystyle 90^{\circ }}$ и тем самым определяет ориентацию. Из соотношения ${\displaystyle \Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0}$ следует, что форма пересечения на этой плоскости положительно определена. Обратно, если имеется такая плоскость, то в комплексификации имеется ровно две изотропные прямые, и выбор только одной из них даёт необходимую ориентацию. Таким образом, искомое открытое подмножество в квадрике — это то же самое, что множество ориентированных двумерных плоскостей с положительно определённым скалярным произведением в пространстве сигнатуры ${\displaystyle (3,19)}$. Группа изометрий такого пространства ${\displaystyle \mathrm {SO} (3,19)}$ действует на таких плоскостях транзитивно со стабилизатором ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)}$. Итак, этот фактор ${\displaystyle {\frac {\mathrm {SO} (3,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)}}}$ называется пространством периодов. Это, как видно из описания как открытого подмножества в квадрике, комплексное многообразие (это же можно увидеть и из вещественного описания, отождествляя ориентированную двумерную плоскость с плоскостью Аргана, то есть попросту комплексными числами — эквивалентность этих описаний есть несложное упражнение). С каждым семейством K3-поверхностей над диском связано голоморфное отображение из диска в это пространство периодов, называемое отображением периодов. Локальная теорема Торелли утверждает, что семейство K3-поверхностей над небольшим диском однозначно восстанавливается по своему отображению периодов.

Если мы хотим рассматривать только алгебраические K3-поверхности, то разумно фиксировать класс гиперплоского сечения ${\displaystyle [\omega ]\in H^{1,1}}$, он же класс кэлеровой формы (K3-поверхности с фиксированным классом гиперплоского сечения называются поляризованными). Поскольку ${\displaystyle \Omega \wedge \omega =0}$, имеем дополнительное ограничение: ${\displaystyle [\Omega ]\in [\omega ]^{\perp }}$. Поскольку ${\displaystyle \omega \wedge \omega >0}$, это означает, что в таком случае ${\displaystyle [\Omega ]}$ может принимать значения только в подмножестве пространства периодов, устроенном как ${\displaystyle {\frac {\mathrm {SO} (2,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (19)}}}$. Это фактор группы по максимальной компактной подгруппе, и по теореме Картана биголоморфна некоторой ограниченной области в комплексном пространстве (в данном случае ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}9}$). Эта область похожа на область Зигеля, и для рода два тесно с ней связана: сопоставление абелевой поверхности её куммеровой K3-поверхности даёт отображение области Зигеля рода два в область периодов. Модулярные формы на этой области дают интересную связь между классической теорией чисел и алгебраической геометрией.

Вместе с тем, действие ортогональной группы, сохраняющей решётку ${\displaystyle H^{2}(K3,\mathbb {Z} )}$, на пространстве периодов, весьма далеко от того, чтобы фактор по этому действию имел хоть какой-то геометрический смысл. Так, образ области Зигеля при указанном выше сопоставлении — аналитическое подмногообразие большой коразмерности, но при этом любая алгебраическая K3-поверхность может быть сколь угодно малой деформацией превращена в куммерову K3-поверхность — то есть сдвиги этого образа под действием решётки образуют всюду плотное множество. Поэтому для формулировки глобального утверждения разумнее говорить не об изоморфизме факторов, а о голоморфном отображении, перестановочном с действием целочисленной ортогональной группы.

Именно, рассмотрим множество всех комплексных структур кэлерова типа на K3-поверхности. Фактор его по действию связной компоненты группы диффеоморфизмов — гладкое комплексное многообразие, хотя и нехаусдорфово (для кривых аналогичный фактор оказывается хаусдорфов и хорошо известен как пространство Тейхмюллера). Тогда отображение, отождествляющее точки, не отделимые друг от друга непересекающимися окрестностями, хорошо определено, и фактор по нему — гладкое комплексное многообразие, отображающееся отображением периодов на пространство периодов, и притом биголоморфно. Это утверждение и есть глобальная теорема Торелли.

Вырождения K3-поверхностей

Куликов

Рассмотрим случай голоморфного семейства над диском, все слои которого, кроме центрального — K3-поверхности, а центральный — некий особый дивизор с нормальными пересечениями, компоненты которого — гладкие поверхности кратности один, а всё тотальное пространство гладко. Такое семейство называется хорошим вырождением. Аналогичный вопрос для эллиптических кривых (см. выше) был изучен Кодаирой: он показал, что минимальные (то есть не допускающие сдутий) вырождения эллиптических кривых имеют тривиальное каноническое расслоение, и дал классификацию таких вырождений (более-менее в терминах диаграмм Дынкина). В случае вырождений поверхностей помимо раздутия центрального слоя существуют ещё так называемые модификации — нетривиальные бирациональные преобразования тотального пространства, сохраняющие слои и бирегулярные на каждом гладком слое. Вик. Куликов доказал, что после некоторой модификации тотальное пространство минимального хорошего вырождения K3-поверхностей также имеет тривиальное каноническое расслоение, и что перестройкой вырождение можно свести к одному из трёх случаев:

• центральный слой — гладкая K3-поверхность,
• центральный слой есть объединение гладких поверхностей ${\displaystyle V_{1}\cup V_{2}\cup \dots \cup V_{n-1}\cup V_{n}}$, притом поверхность ${\displaystyle V_{i}}$ пересекается только с поверхностями ${\displaystyle V_{i\pm 1}}$, все пересечения — эллиптические кривые, поверхности ${\displaystyle V_{1}}$ и ${\displaystyle V_{n}}$ рациональны, а поверхности ${\displaystyle V_{2},\dots V_{n-1}}$ — линейчатые эллиптические поверхности,
• центральный слой есть объединение рациональных поверхностей, пересекающихся по рациональным кривым; комплекс, вершины которого — неприводимые компоненты центрального слоя, рёбра — кривые, по которым они пересекаются, а грани — точки, в которых сходятся эти кривые, есть триангуляция двумерной сферы.

Примером вырождения II типа по Куликову может служить вырождение гладкой квартики в объединение двух квадрик (пересечение их — эллиптическая кривая), а вырождения III типа — вырождение гладкой квартики в объёдинение четырёх плоскостей (то есть поверхность тетраэдра — если вершины этого тетраэдра вещественны, упомянутая триангуляция будет двойственна к той, что дана этим тетраэдром).

Вырождения риччи-плоских метрик на K3-поверхностях

К вырождениям K3-поверхностей можно относиться по-разному. Помимо вышеописанной алгебраико-геометрической перспективы, на них можно смотреть с точки зрения дифференциальной геометрии. Именно, зафиксируем комплексную структуру ${\displaystyle I}$ на K3-поверхности ${\displaystyle X}$, и рассмотрим кэлеров конус ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}\subset H^{1,1}(X)}$, то есть конус классов ${\displaystyle [\omega ]}$ таких, что ${\displaystyle \omega (x,y)=\omega _{g}(x,y)=g(Ix,y)}$ для какой-то кэлеровой метрики ${\displaystyle g}$. Это некоторый открытый конус, лежащий в конусе классов с ${\displaystyle \alpha \wedge \alpha >0}$ и ${\displaystyle \int _{C}\alpha >0}$ для всякой кривой ${\displaystyle C\subset X}$. Благодаря теореме Калаби — Яу, каждой точке этого конуса соответствует единственная риччи-плоская метрика. А что будет происходить с этой метрикой, если устремить точку конуса к его границе?

Ответ зависит, конечно, от точки на границе, к которой мы её устремляем. Например, если ${\displaystyle X}$ — куммерова K3-поверхность, и ${\displaystyle \alpha }$ — ${\displaystyle (1,1)}$-форма, поднимающаяся с формы на абелевой поверхности, с которой она связана, то класс ${\displaystyle [\alpha ]}$ численно эффективен (то есть лежит в замыкании кэлерова конуса), и ${\displaystyle \int _{X}\alpha \wedge \alpha >0}$ (такие классы называются объёмными). Вместе с тем, кэлеровым он не является, поскольку имеем ${\displaystyle \alpha |_{C}=0}$, где ${\displaystyle C}$ — любая из шестнадцати исключительных кривых. В этом случае предел метрик хорошо определён (в смысле предела Громова — Хаусдорфа, не зависит от пути в кэлеровом конусе, и сходится к метрическому пополнению некоторой неполной риччи-плоской кэлеровой метрики, определённой вне шестнадцати исключительных кривых. Общий результат такого рода (для произвольных многообразий Калаби — Яу) был доказан Тосатти, Жангом и соавторами, но для куммеровых K3-поверхностей был получен ещё Лебрюном.^[4]

Вместе с тем, если класс ${\displaystyle \alpha }$ не является объёмным, то вырождение происходит иначе, и происходит т. н. схлопывание — предельное пространство имеетв определённом смысле меньшую размерность. Например, если ${\displaystyle X}$ — эллиптическая K3-поверхность, и ${\displaystyle \alpha }$ — обратный образ класса Фубини — Штуди с базы эллиптического пучка, то ${\displaystyle \alpha \wedge \alpha =0}$. Предельное поведение риччи-плоских метрик в такой ситуации было исследовано Гроссом и Вильсоном.

Динамические свойства K3-поверхностей

K3-поверхности часто допускают автоморфизмы, динамика которых хаотична (например, в том смысле, что их топологическая энтропия положительна, и имеется собственный класс в ${\displaystyle H^{1,1}}$ с собственным числом больше ${\displaystyle 1}$). Например, таким свойством обладает автоморфизм, получающийся на куммеровой поверхности, связанной с тором ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\mathbb {Z} \oplus {\sqrt {-1}}\mathbb {Z} \}^{2}}$, подъёмом арнольдова автоморфизма «окрошки из кошки», определённого матрицей ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}$. Мера максимальной энтропии в этом случае абсолютно непрерывна по мере Лебега; Канта и Дюпон доказали, что в алгебраическом случае все K3-поверхности с автоморфизмом такого свойства куммеровы (впоследствии Тосатти и Филип распространили это утверждение на неалгебраические K3-поверхности; этот результат был использован ими для построения классов на границе кэлерова конуса, сходимость риччи-плоских метрик при стремлении к которым обладает патологическими свойствами).

Голоморфную динамику описанной выше поверхности с тремя инволюциями изучал Барри Мазур.

Используя теорему Торелли, Макмуллен построил автоморфизмы K3-поверхностей, которые допускают диски Зигеля — то есть открытые области, сохраняемые автоморфизмом, и биголоморфные произведению двух дисков, на которых действие автоморфизма сопряжено повороту ${\displaystyle (z,w)\mapsto (az,bw)}$, где ${\displaystyle |a|=|b|=1}$ — числа, не являющиеся корнями из единицы.

История

Ранние математические исследования, которые мы теперь понимаем как исследования K3-поверхностей, относились не к геометрическим, а теоретико-числовым их аспектам — хотя в то время эти задачи часто формулировались в терминах евклидовой геометрии. Так, Ролль прославился в свое время тем, что нашел тетраэдр с целыми длинами сторон, все грани которого — прямоугольные треугольники (трехмерное обобщение пифагорова треугольника). Такой тетраэдр можно получить из прямоугольного параллелепипеда с целыми длинами ребер, целой пространственной диагональю, и целыми диагоналями в двух из граней (параллелепипед с таким свойством, у которого целочисленные диагонали во всех трех гранях, до сих пор неизвестен). Эта задача, в обозначениях на чертеже справа, сводится к решению системы диофантовых уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2},\\a^{2}+c^{2}=e^{2},\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{cases}}}$

В современных терминах это есть пересечение трех квадрик в пятимерном проективном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{5}}$, то есть K3-поверхность рода пять, а Ролль отыскал рациональную точку на этой K3-поверхности. Чуть позже другие примеры K3-поверхностей были исследованы Эйлером, также в процессе решения диофантовых уравнений (впоследствии его идеи были развиты Рамануджаном). Подлинно геометрический подход к K3-поверхностям был заложен гораздо позже, в трудах Кэли, Куммера и Энрикеса.

Название «K3-поверхность» предложил в 1958 году Андре Вейль (в честь Куммера, Келера и Кодаиры). Он также пытался доказать теорему Торелли для алгебраических K3-поверхностей. Несколько позже Кодаира доказал, что все K3-поверхности, в том числе и неалгебраические, деформационно эквивалентны (в частности, диффеоморфны). Также он расклассифицировал особые слои у эллиптических K3-поверхностей.

Локальная теорема Торелли для алгебраических K3-поверхностей была доказана в 1965 году Тюриной, а глобальная — Пятецким-Шапиро и Шафаревичем в 1971 году. На неалгебраические K3-поверхности глобальную теорему Торелли распространили Бёрнс и Рапопорт в 1975. В 1977 году расклассифицировал вырождения K3-поверхностей Виктор Куликов^[5] и описал K3-поверхности с конечными группами автоморфизмов Никулин^[6].

Примечания

1. Всякая алгебраическая комплексная K3-поверхность является K3-поверхностью в смысле дифференциально-геометрического определения; обратное, вообще говоря, неверно.
2. S. K. Donaldson. Calabi-Yau metrics on Kummer surfaces as a model gluing problem, July 27, 2010
3. Maxim Kontsevich, Yan Soibelman. Affine structures and non-archimedean analytic spaces, Submitted on 28 Jun 2004
4. Valentino Tosatti. Collapsing Calabi-Yau manifolds, 2020
5. Вик. С. Куликов, Вырождения K3 поверхностей и поверхностей Энриквеса, Изв. АН СССР. Сер. матем., 41:5 (1977), 1008–1042
6. В. В. Никулин, Конечные группы автоморфизмов келеровых поверхностей типа K3, Тр. ММО, 38, Изд-во Моск. ун-та, М., 1979, 75–137