Признаки подобия треугольников

Подобные треугольники в евклидовой геометрии — треугольники, углы у которых соответственно равны, а стороны соответственно пропорциональны. Являются подобными фигурами.

В данной статье рассматриваются свойства подобных треугольников в евклидовой геометрии. Некоторые утверждения являются неверными для неевклидовых геометрий.

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов определения.

Первый признак

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

то есть: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}\Leftrightarrow \angle A=\angle A_{1},\ \angle B=\angle B_{1}.}$

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},\ \angle A=\angle A_{1},\ \angle B=\angle B_{1}.}$

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

Доказательство

Из теоремы о сумме углов треугольника можно получить, что все углы треугольников равны. Расположим их так, чтобы угол ${\displaystyle \angle BAC}$ наложился с углом ${\displaystyle \angle B_{1}A_{1}C_{1}}$. Из обобщенной теоремы Фалеса (ее можно доказать без подобия, смотрите например учебник по геометрии 7-9 Шарыгина или Погорелова) ${\displaystyle AC/A_{1}C_{1}=BC/B_{1}C_{1}}$. Аналогично можно доказать, что равны отношения и других соответственных сторон, значит треугольники подобны по определению, ч.т.д.

Следствия первого признака подобия

• Если три стороны исходного треугольника попарно параллельны (дважды антипараллельны или перпендикулярны) трём сторонам другого треугольника, то указанные два треугольника подобны. Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: «Примеры подобных треугольников» и «Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников».
• Под дважды антипараллельными сторонами понимается следующее. Например, стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. В таком случае соответствующие стороны ортотреугольника ортотреугольника (дважды ортотреугольника) дважды антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника, то есть просто параллельны. Следовательно, подобны, например, ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник как треугольники с параллельными сторонами.

Второй признак

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},\ \angle A=\angle A_{1},\ {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}.}$

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

Доказательство

Иллюстрация к доказательству.

1) Рассмотрим ${\displaystyle \triangle ABC_{2}}$, в котором ${\displaystyle \angle BAC_{2}=\angle A_{1}}$ и ${\displaystyle \angle ABC_{2}=\angle B_{1}:}$

${\displaystyle \triangle ABC_{2}\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ (первый признак) ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC_{2}}{A_{1}C_{1}}}.}$

2) По условию:

${\displaystyle {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}\Rightarrow AC=AC_{2}\Rightarrow \triangle ABC=\triangle ABC_{2}}$ (первый признак) ${\displaystyle \Rightarrow \angle B=\angle ABC_{2}\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ (первый признак).

Третий признак

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},{\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}}$.

Доказать: ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.}$

Доказательство

1) Рассмотрим ${\displaystyle \triangle ABC_{2}}$, в котором ${\displaystyle \angle BAC_{2}=\angle A_{1}}$ и ${\displaystyle \angle ABC_{2}=\angle B_{1}:}$

${\displaystyle \triangle ABC_{2}\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$ (первый признак) ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}={\frac {AC_{2}}{A_{1}C_{1}}}.}$

2) По условию:

${\displaystyle {\frac {AB}{A_{1}B_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {AC}{A_{1}C_{1}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {BC}{B_{1}C_{1}}}\Rightarrow \ }$ AC=AC₂, BC=BC₂ => ∆ABC = ∆ABC₂ (третий признак);
∆ABC₂ ${\displaystyle \sim }$ ∆A₁B₁C₁ => ${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}}$.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. По острому углу — см. первый признак;
2. По двум пропорциональным катетам — см. второй признак;
3. По пропорциональному катету и гипотенузе — см. третий признак.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
• Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

Примеры подобных треугольников

Подобны следующие виды треугольников:

• Дополнительный треугольник и антидополнительный треугольник подобны; соответственные их стороны параллельны.
• Треугольник ABC подобен своему дополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 2:1.
• Треугольник ABC подобен своему антидополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 1:2.
• Исходный треугольник ${\displaystyle \Delta ABC}$ по отношению к ортотреугольнику является треугольником трёх внешних биссектрис^[1].
• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
• Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности сторон родственных треугольников.
• Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному^[2]. Здесь использованы определения:
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.
  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников

• Соответственные стороны дополнительного треугольника, антидополнительного треугольника и исходного треугольника попарно параллельны.
• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Подобие в прямоугольном треугольнике

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

• Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу,
• Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Связанные определения

• Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
• Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

См. также

• Неравенство Пидо
• Подобие
• Признаки равенства треугольников
• Решение треугольников
• Среднее геометрическое
• Треугольник

Примечания

1. Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
2. Система задач по геометрии Р. К. Гордина. Задача 6480  (неопр.). Дата обращения: 26 апреля 2016. Архивировано 4 марта 2016 года.

Литература

• Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.:
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

Ссылки

• Видео. Подобные треугольники
• Подобие треугольников
• Признаки подобия из учебника за восьмой класс