Неевклидова геометрия

Неевкли́дова геоме́трия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам^[1]: геометрии Лобачевского и сферической геометрии^[2].

Сравнение сферической, евклидовой и гиперболической геометрий:
1. Сферическая геометрия;
2. Евклидова геометрия;
3. Геометрия Лобачевского

Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической, отрицательная — геометрии Лобачевского^[1].

Метрика для плоскости

Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат; далее приводятся формулы для случая полугеодезических координат^[1]:

• Евклидова геометрия: ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$ (теорема Пифагора).
• Сферическая геометрия: ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+\cos ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}}$. Здесь R — радиус сферы.
• Геометрия Лобачевского: ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+\operatorname {ch} ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}}$. Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.

История понятия

Основная статья: Аксиома параллельности Евклида

Аксиоматика

Основная статья: Основания геометрии

Выше дано определение неевклидовых геометрий в терминах дифференциальной геометрии; однако можно описать их и с помощью чисто геометрической аксиоматики. Первая полная система аксиом для евклидовой и неевклидовой геометрий была построена Давидом Гильбертом в своём труде «Основания геометрии».

Исторически главное отличие неевклидовых геометрий от евклидовой отмечалось в теории параллельных прямых. Согласно аксиоме евклидовой геометрии, через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной; в геометрии Лобачевского таких прямых бесконечно много, а в сферической геометрии параллельных прямых нет вообще (все прямые пересекаются). Именно этот факт Гильберт положил в основу своей аксиоматики. Соответственно многие теоремы в разных геометриях различаются. Примеры:

Величина	В евклидовой геометрии	В геометрии Лобачевского	В сферической геометрии
Сумма углов треугольника	равна ${\displaystyle 180^{\circ }}$	меньше ${\displaystyle 180^{\circ }}$	больше ${\displaystyle 180^{\circ }}$
Отношение длины окружности к её диаметру	равно ${\displaystyle \pi }$	больше ${\displaystyle \pi }$	меньше ${\displaystyle \pi }$

В то же время существует класс аксиом (например, аксиомы движения), общий для всех трёх геометрий^[1]. Геометрические теоремы, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского, принято называть «абсолютной геометрией»^[3].

См. также

• Неархимедова геометрия
• Недезаргова геометрия